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第13课时二次函数的图象与性质一般地,形如①(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.考点一二次函数的概念考点聚焦y=ax2+bx+c【温馨提示】函数y=ax2+bx+c未必是二次函数,当②时,y=ax2+bx+c是二次函数.a≠0考点二二次函数的图象与性质函数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0图象开口方向抛物线开口向上,并向上无限延伸抛物线开口向下,并向下无限延伸对称轴直线x=③顶点坐标④-𝒃𝟐𝒂-𝒃𝟐𝒂,𝟒𝒂𝒄-𝒃𝟐𝟒𝒂性质在对称轴的左侧,即当x-b2a时,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x-b2a时,y随x的增大而增大,简记为“左减右增”在对称轴的左侧,即当x-b2a时,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,即当x-b2a时,y随x的增大而减小,简记为“左增右减”最值抛物线有最低点,当x=-b2a时,y有最小值,y最小值=4ac-b24a抛物线有最高点,当x=-b2a时,y有最大值,y最大值=4ac-b24a二次项系数a的特性|a|的大小决定抛物线的开口大小.|a|越大,抛物线的开口越小;|a|越小,抛物线的开口越大(续表)考点三二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)图象与系数a,b,c的关系项目字母字母的符号图象的特征aa0开口向⑤a0开口向⑥bb=0对称轴为⑦轴ab0(b与a同号)对称轴在y轴⑧侧ab0(b与a异号)对称轴在y轴⑨侧cc=0经过点⑩c0与y轴相交c0与y轴相交下上y左右(0,0)正半轴负半轴项目字母字母的符号图象的特征b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点(顶点)b2-4ac0与x轴有个不同的交点b2-4ac0与x轴没有交点特殊关系当x=1时,y=a+b+c当x=-1时,y=a-b+c若a+b+c0,则当x=1时,y0若a-b+c0,则当x=-1时,y0(续表)两1.二次函数的三种表示方法(1)一般式:.(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中二次函数图象的顶点坐标是.(3)两点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其图象与x轴的交点的坐标为.2.二次函数解析式的确定用待定系数法求二次函数的解析式时,注意解析式的设法,常见情况如表所示.考点四二次函数的表示方法与解析式的确定y=ax2+bx+c(a≠0)(h,k)(x1,0),(x2,0)条件设法顶点在原点y=ax2(a≠0)顶点在y轴上y=ax2+c(a≠0,y轴为对称轴)顶点在x轴上y=a(x-h)2(a≠0,直线x=h是对称轴)抛物线过原点y=ax2+bx(a≠0)顶点(h,k)y=a(x-h)2+k(a≠0)抛物线与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)可用配方法化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,任意抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)均可由抛物线y=ax2(a≠0)平移得到,具体平移方法如图13-1所示(假设h,k均为正数):考点五二次函数图象的平移图13-1【温馨提示】平移规则为“上加下减,左加右减”.题组一必会题对点演练1.若y=(m+2)𝑥𝑚2-2(m是常数)是二次函数,则m的值是()A.±2B.2C.-2D.不能确定2.抛物线y=2(x-3)2+1的顶点坐标是()A.(3,1)B.(3,-1)C.(-3,1)D.(-3,-1)BA3.二次函数y=-x2+2x+4的最大值为()A.3B.4C.5D.6C4.在抛物线y=-x2+2x-3中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是()A.x-1B.x1C.x1D.x-1B5.二次函数y=x2+b的图象经过点(1,4),则b的值是;若该二次函数图象还经过点(-1,m),则m的值是.346.写出抛物线y=2(x-1)2上一对对称点的坐标,这对对称点的坐标可以是.(2,2),(0,2)(答案不唯一)【失分点】二次项系数不为1的二次函数利用配方法求顶点坐标时,学生容易将二次项系数自动变为1导致出错.题组二易错题7.二次函数y=2x2+4x+4的图象的顶点坐标为.(-1,2)8.若抛物线的顶点为(-2,3),且经过点(-1,5),则其表达式为.y=2x2+8x+11考向一二次函数的图象与性质例1已知二次函数y=x2-4x+3.(1)求二次函数的图象与x轴的交点坐标;(2)求二次函数的图象的对称轴和顶点坐标;(3)写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围.解:(1)对于y=x2-4x+3,令y=0,解得x=1或x=3,∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0).(2)y=x2-4x+3=x2-4x+22-4+3=(x-2)2-1,∴二次函数的图象的对称轴为直线x=2,顶点坐标是(2,-1).(3)x2.|考向精练|1.[2018·北京7题]跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).图13-2记录了某运动员起跳后的x和y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为()A.10mB.15mC.20mD.22.5m图13-2[解析]由题意得𝑐=54,400𝑎+20𝑏+𝑐=57.9,1600𝑎+40𝑏+𝑐=46.2,解得𝑎=-0.0195,𝑏=0.585,𝑐=54,从而对称轴为直线x=-𝑏2𝑎=-0.5852×(-0.0195)=15.故选B.[答案]B2.[2019·怀柔期末]如图13-3,一条抛物线与x轴相交于M,N两点(点M在点N的左侧),其顶点P在线段AB上移动,点A,B的坐标分别为(-2,-3),(1,-3),点N的横坐标的最大值为4,则点M的横坐标的最小值为()A.-1B.-3C.-5D.-7[答案]C图13-3[解析]当抛物线顶点在点B时,点N的横坐标的最大值为4,则此时抛物线的表达式为y=a(x-1)2-3,把点N(4,0)的坐标代入得:0=a(4-1)2-3,解得:a=13.当抛物线顶点在点A时,M点的横坐标最小,此时抛物线的表达式为y=13(x+2)2-3,令y=0,则x=-5或x=1,即点M的横坐标的最小值为-5.3.[2019·石景山二模改编]在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2-2mx+m2-1.若点(m-2,y1),(m,y2),(m+3,y3)都在抛物线y=x2-2mx+m2-1上,则y1,y2,y3的大小关系为.y3y1y2考向二二次函数的图象与a,b,c的关系例2[2019·西城期末]抛物线y=ax2+bx+c经过点(-2,0),且对称轴为直线x=1,其部分图象如图13-4所示.对于此抛物线有如下四个结论:①ac0;②16a+4b+c=0;③若mn0,则x=1+m时的函数值大于x=1-n时的函数值;④点-𝑐2𝑎,0一定在此抛物线上.其中正确结论的序号是()A.①②B.②③C.②④D.③④图13-4[答案]C[解析]∵抛物线开口向下,∴a0.∵抛物线与y轴的正半轴相交,∴c0,∴ac0,故①错误;∵抛物线的对称轴为直线x=1,而点(-2,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(4,0),∴16a+4b+c=0,故②正确;∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=1,∴横坐标是1-n的点的对称点的横坐标为1+n,∵mn0,∴1+m1+n,∴x=1+m时的函数值小于x=1-n时的函数值,故③错误;∵抛物线的对称轴为直线x=-𝑏2𝑎=1,∴b=-2a,∴抛物线解析式为y=ax2-2ax+c,∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(-2,0),∴4a+4a+c=0,即8a+c=0,∴c=-8a,∴-𝑐2𝑎=4.∵点(-2,0)关于直线x=1的对称点是(4,0),∴点-𝑐2𝑎,0一定在此抛物线上,故④正确.故选C.【方法点析】二次函数的图象与a,b,c有着密切的联系,且此类型题较为抽象.二次函数的图象特征经常会从如下方面进行研究:开口方向、开口大小、对称轴、顶点坐标,与x轴的交点个数以及增减性、最值.有时还会关注一些特殊式子的值,如x=1时,y=a+b+c;x=-1时,y=a-b+c;对称轴为直线x=-𝑏2𝑎等.|考向精练|1.[2019·丰台期末]二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图13-5所示,那么下列说法正确的是()A.a0,b0,c0B.a0,b0,c0C.a0,b0,c0D.a0,b0,c0B图13-52.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图13-6所示,下列结论:①ac0;②b-2a0;③b2-4ac0;④a-b+c0,正确的是()A.①②B.①④C.②③D.②④A图13-6考向三二次函数解析式的确定例3抛物线y=x2+bx+c(b,c均为常数)与x轴交于A(1,0),B两点,与y轴交于点C(0,3).(1)求该抛物线的函数解析式;(2)若P是抛物线上一点,且点P到抛物线的对称轴的距离为3,请直接写出点P的坐标.解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C(0,3),∴c=3,∴y=x2+bx+3.又∵抛物线y=x2+bx+3与x轴交于点A(1,0),∴b=-4,∴该抛物线的函数解析式为y=x2-4x+3.(2)点P的坐标为(5,8)或(-1,8).【方法点析】在求二次函数的解析式时,经常利用待定系数法.(1)已知任意三点的坐标选用一般式y=ax2+bx+c(a≠0);(2)已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值,常选用顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0);(3)已知抛物线与x轴的两个交点坐标,常选用交点(双根)式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).1.抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,4)两点,求抛物线的函数解析式.|考向精练|解:∵抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,4)两点,∴-1-𝑏+𝑐=0,𝑐=4,解得𝑏=3,𝑐=4.∴此抛物线的函数解析式为y=-x2+3x+4.2.已知抛物线的顶点为A(1,4),抛物线与y轴交于点B(0,3),求此抛物线的函数解析式.解:∵抛物线的顶点坐标为(1,4),∴设y=a(x-1)2+4.由于抛物线过点B(0,3),∴3=a(0-1)2+4,解得a=-1.∴抛物线的函数解析式为y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3.3.[2019·威海]在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:乙写错了常数项,列表如下:x…-10123…y甲…63236…x…-10123…y乙…-2-12714…通过上述信息,解决以下问题:(1)求原二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的表达式;(2)对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x时,y的值随x的值增大而增大;(3)若关于x的方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围.解:(1)根据甲同学的错误可知x=0时,y=c=3是正确的,由甲同学提供的数据,选择x=-1,y=6;x=1,y=2代入y=ax2+bx+3,得𝑎-𝑏+3=6,𝑎+𝑏+3=2,解得a=1是正确的.根据乙同学提供的数据,选择x=-1,y=-2;x=1,y=2代入y=x2+bx+c,得1-𝑏+𝑐=-2,1+𝑏+𝑐=2,解得b=2是正确的,∴y=x2+2x+3.3.[2019·威海]在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:乙写错了常数项,列表如下:通过上述信息,解决以下问题:(2)对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x时,y的值随x的值增大而增大;x…-10123…y甲…63236…x…-10123…y乙…-2-12714…(2)抛物线y=x2+2x+3的对称轴为直线x=