52能观测性定义及其判据

§5.2能观测性定义及其判据一、直观例子能观测性，就是研究系统状态是否由输出反映不能观测:对于某一状态，对应的输出总是零，即输出无法反映状态的变化例5.612401(0,6)052xxxyxu，1122452xxuxxu26xy即：y只反映x2，与x1无直接间接关系，故系统是不完全能观测的。二、定义考虑线性时变系统JtutDxtCyutBxtAx,)()(,)()((5.7)其中qpnRyRtuRtx,)(,)(J为时间定义区间，A(t)，B(t)，C(t),D(t)为适当维数的元为t的连续函数的矩阵在研究能观测性问题中，输入和输出都已假定为已知假定输入u恒为零所谓能观测性即是研究初始状态可由输出的完全可估计性。定义5.5、对于系统(5.7)，若取定初始时刻Jt0的一个非零初始状态x0存在011,ttJt使对所有],[10ttt，y(t)=0则称此x0是在t0时刻为不能观测的。定义5.6、对于系统(5.7)，若状态空间中一个非0状态不是在t0时刻（Jt0）的不能观测的，则称状态在t0时刻是能观测的。若所有非0状态都不是在t0时刻不能观测的，则称系统(5.7)在t0时刻是完全能观测的。定义5.7、对于系统(5.7)，取定初始时刻Jt0若状态空间中存在一个或一些非零状态在t0时刻是不能观测的则称此系统在t0不完全能观测的。三、能观性判别准则定理5.7、（Gram判据）线性定常系统0,,)0(,tCxyxxAxx(5.8)的状态x不能观测x属于空间)],0([1twNo，其中110(0,)TtAtTAtowteCCedt系统完全能观测),0(10tw为非奇异阵。证明（不讲）：设)],0([1twNxo，则方程0),0(1xtwo且112000TttTTAtTAtAtoxwxxeCCexdtCexdt当xx)0(时,有0,txCeyAt所以y(t)=0,即x不能观测.反之,若x不能观测,则0)(],,0[,011tyttt,即0)(xCetyAt010tAtTtAdtxCeCeT,所以x属于空间)],0([1twNo系统(5.8)完全能观测的充要条件是)],0([1twNo={0},即1(0,)owt是非奇异的.定理5.8、秩判据线性定常系统(5.8)为完全能观测nCACACrankTTnTTTT1)(其中n为矩阵A的维数，TTnTTTToCACACQ1)(系统的能观测性判别阵：定理5.9、（PBH秩判据）线性定常系统(5.8)为完全能观测对A的所有特征值),2,1(nii均有ninAICranki,2,1,,or,CranknssIA（复数域）即(sI-A)和C为右互质。推论5.2、（PBH特征向量判据）线性定常系统(5.8)为完全能观测A不能有与C的所有行相正交的非零右特征向量，即对A的所有特征值),2,1(nii，使同时满足0,CAi的特征向量0定理5.10、（Jordan规范型判据）线性定常系统(5.8)为完全能观测（1）当A的特征值n，21,为两两相异时，(5.8)的对角线规范型xCyxxn,21中，C不包含元素全为零的列。（2）当特征值为nlll212211)()()(且重，重，重时，系统（5.8）的Jordan规范型为xCyxAxˆˆ,ˆˆˆllCCCCJJJAˆˆˆˆ,ˆ2121其中：Ji为σi*σi阵，且具有如下形式：iiiiiJJJJ21iiiiCCCˆˆˆ11111ˆˆˆ,,11,2,,,ikikikikiiiikikrirriiiiJCCCkrr由),,2,1(ˆiikkC的第一列所组成的矩阵iiiCC11ˆˆ1对li,,2,1均为列线性无关。四、能观测性指数定义5.8、对于线性定常系统(5.8)，称rankQk=n的最小正整数k为系统的能观测性指数，记为ν.其中TTkTTTTTTkCACACACQ12)(性质5.7、若rank(C)=m≤q，则有1/mnqn证：Qν为vqn，要使rankQν=n，必要条件为νp≥n。设rank(C)=m，而CA，CA2，…，CAν-1每个矩阵中至少有一个行向量和Qν中其上侧所有线性独立的行向量线性无关，∴m+ν-1≤n.1vnm性质5.8、对单输出系统，即q=1，系统的能观测性指数为ν=n..性质5.9、系统完全能观测nCACACrankrankQTTmnTTTTmn)(1性质5.10、设n为矩阵A的最小多项式的次数（nn)则)1,min(/mnnqn性质5.11、依次从左至右搜Qν中的n个线性无关的列:Qν中某行不能表示为其上方各行的线性组合，选择此行；否则不选此行。若C的秩为m，则这样得到的n个线性无关的行重新排列如下：;;;11222111121mAcAccAcAccAcAccmmm对于完全能观测系统有nm21)(max1iri系统(C,A)的能观测性指标:m,,,21性质5.12、对于完全能观测系统(5.8)的状态方程和输出方程作线性非奇异变换，其能观测性指数和能观测性指标保持不变。从而能观性保持不变。证：设Q为非奇异线性变换阵，11,CQCQAQA，则11111111111)()(11QAcAccAcAccAcAccAcAccrrmmmmmm11:CCAQQQCA其中五、线性时变系统的能观测性判据设线性时变系统的状态方程为：JtxtxJtxtCyxtAx000,)(,,)(,)((5.9):(),()nqxtRytR其中J为时间定义区间，A(t)，C(t)为适当维数的元为t的连续函数的矩阵定理5.11、（Gram判据）线性系统(5.9)在时刻t0完全能观测的充要条件为：10),()()(),(),(0010ttTTodttttCtCttttW为非奇异矩阵，其中),(为系统(5.9)的状态转移矩阵。ntNtNtNrankn)()()(1111100100122()()()()()/()()()()/()nnnNtCtNtNtAtddtNtNtNtAtddtNt其中定理5.12、（秩判据）设A(t)和C(t)是(n-1)阶连续可微的，则线性时变系统(5.9)在时刻t0为完全能观测的一个充分条件是存在一个有限时刻110,tJtt成立