第三章-一元一次方程方程应用题归类分析(1)

一元一次方程方程应用题归类分析列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；下面老师就从以下几个方面分门别类的对常见的数学问题加以阐述，希望对同学们有所帮助.•1.和、差、倍、分问题：•（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。•（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。•2.等积变形问题：•“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：•①形状面积变了，周长没变；•②原料体积＝成品体积。例2.用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少mm？（结果保留整数）分析：等量关系为：圆柱形玻璃杯体积＝长方体铁盒的体积下降的高度就是倒出水的高度解：设玻璃杯中的水高下降xmm1251252mm•3.劳力调配问题：•这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：•（1）既有调入又有调出；•（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；•（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。•例3.机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？•分析：列表法。•每人每天人数数量•大齿轮16个x人16x•小齿轮10个人•等量关系：小齿轮数量的2倍＝大齿轮数量的3倍•解：设分别安排x名、名工人加工大、小齿轮••答：略.31621085()[()]xx85x1085x问题二某车间每天能生产甲种零件120个，或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套，现要在30天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？1、你能找出题中的等量关系吗？生产出的甲、乙两种零件恰好能配套2、该如何设未知数呢？设安排生产甲种零件x天，则生产乙种零件为（30–x）天。3、你能列出此方程吗？4、你会解此方程吗？5、你该如何取数呢？2)30(1003120xx350x•4.比例分配问题：•这类问题的一般思路为：设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。•常用等量关系：各部分之和＝总量。例4.三个正整数的比为1：2：4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是几？解：设一份为x，则三个数分别为x，2x，4x分析：等量关系：三个数的和是84答：略.•5.数字问题•（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。•（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2N表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。•例5.一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数•等量关系：原两位数+36=对调后新两位数•解：设十位上的数字X，则个位上的数是2x，•10×2x+x=（10x+2x）+36解得x=4，2x=8.•答：略.•6.工程问题：•工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间•经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。•例6.一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？•7.行程问题：•（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间。•（2）基本类型有•①相遇问题；②追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。•（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。•例7.甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。•（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？•（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？•（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？•（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？•一学生往返于相距skm的A、B两地,去时速度为6km/h,原路返回速度为3km/h,则这个学生往返的平均速度是______。•8.利润赢亏问题•（1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等•（2）有关关系式：•商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价•商品利润率=商品利润/商品进价•商品售价=商品标价×折扣率商品标价×折扣率—商品进价=进价×利润率体验生活•例8.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？•9.储蓄问题•⑴顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税•⑵利息=本金×利率×期数•本息和=本金+利息•利息税=利息×税率（20%）•分析：等量关系：本息和=本金×（1+利率）例9.某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）8、已知一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到车身过完桥共用1分钟，整列火车完全在桥上的时间为40秒，求火车的速度及火车的长度。有关溶液的浓度应用题是初中代数中列方程解应用题的一类基本题．解这类应用题，关键的问题是：抓住不变量(如稀释前溶质重量等于稀释后溶质重量)列方程．（1）求溶质例5、现有浓度为20％的盐水300克和浓度为30％的盐水200克，需配制成浓度为60％的盐水，问两种溶液全部混合后，还需加盐多少克？解：设两种溶液全部混合后，还需加盐x克，注意混合前后溶质总量不变，依题意得方程：20％×300+30％×200+x=60％(300+200+x)．化简得2x=900．解这个方程得x=450．答：两种溶液全部混合后，还需加盐450克．（2）求溶剂例6、要把浓度为90％的酒精溶液500克，稀释成浓度为75％的酒精溶液，需加水多少克．解：设需加水x克，因为加水前后溶质数量不变，依题意得方程75％(x+500)=90％×500．化简得15x=1500．解这个方程得x=100．答：需加水100克．一、过程未指明时需要分类讨论例1、甲、乙两人骑自行车,同时从相距65千米的两地相向而行,甲的速度为17.5千米/时,乙的速度为15千米/时,经过几小时两人相距32.5千米？解：设经过x小时，两人相距32.5千米（1）当两人在相遇前相距32.5千米时，由题得15x+17.5x+32.5=65，解得x=1（2）当两人交错而过后相距32.5千米时，由题得17.5x+15x-32.5=65，解得x=3答：经过1小时或3小时，两人相距32.5千米.二、位置不清时需要分类讨论例2、甲、乙两人环湖竞走比赛，环湖一周400米，乙每分钟走80米，甲的速度是乙的速度的，现甲、乙两人相距100米，多少分钟后两人首次相遇？41解：设x分钟后甲乙两人首次相遇（1）当乙在甲前时，由题得80x-20x=400-100，解得x=5（2）当甲在乙前时，由题得80x-20x=100，解得x=答：当乙在甲前时，5分钟后两人首次相遇；当甲在乙前时，分钟后两人首次相遇.3535（3）求溶液例7、有若干克4％的盐水蒸发了一些水分后，变成10％的盐水，接着加进4％的盐水300克，混合后变为6.4％的盐水，问:最初有盐水多少克？解：设最初有盐水x克，注意混合后的含盐量，依题意得方程化简得1.44x=720．解这个方程得x=500．答：最初有盐水500克．).300%10%4%(4.6300%4%4xx（4）求浓度例8、甲种硫酸溶液含硫酸的百分数是乙种硫酸溶液的1.5倍，甲种硫酸溶液5份与乙种硫酸溶液3份混合成的硫酸溶液含硫酸52.5％，求两种硫酸溶液含硫酸的百分数．解：设乙种硫酸溶液含硫酸的百分数为x，则甲种硫酸溶液含硫酸的百分数为1.5x，依题意得方程5×1.5x+3x=52.5％×8．化简得105x=42．解这个方程得x=0.4=40％，则1.5x=1.5×0.4=0.6=60％．答：甲种硫酸溶液含硫酸的百分数是60％，乙种硫酸溶液含硫酸的百分数是40％．