铭远教育-(历年真题)2011年浙江省专升本数学试卷及解析

年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、2arctanxy的反函数是（）..A)tan(2xy)23,2(x.B2tany)23,2(x.C2tan2y),(x.Dxytan),(x2、“对于任意给定的正数，总存在正整数N，当Nn时，恒有axn”是数列}{nx收敛于a的（）..A充分但菲必要条件.B必要但非充分条件.C充分必要条件.D既非充分也非必要条件3、设函数)(xf在]1,0[上，022dxfd，则下列关系式成立的是（）..A10)0()1(xdxdfxdxdfff.B1)1()0(0xdxdfffxdxdf.C0)0()1(1xdxdfffxdxdf.D)0()1(01ffxdxdfxdxdf4、设xdxxxM42cos1sin22，dxxxN)cos(sin4322，dxxxxP)cossin(43222，则下列关系式成立的是（）..AMPN.BNPM.CPMN.DNMP、设直线L为031020123zyxzyx，平面为0224zyx，则（）.A.L平行于B.L垂直于C.L在上D.L与斜交非选择题部分注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。2.在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）6、函数0,sin0,1xxxxy的间断点是_______.7、________sin1limxxx.8、设)(xf在点0x可导，a，b为常数，则_________)()(lim000xxbxfxaxfx.9、设181079xxy，则_______)9(y.10、设xkxf2tan)(的一个原函数为x2cosln32，则______k.11、不定积分_______25112dxx.12、广义积分_______0dxex.13、设级数nnnxn133的收敛半径_______R.14、二重积分12222_______yxdxdyyx.（超纲）15、方程0yy的通解是_______.三、计算题（本大题共有8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分。计算题必须写出计算过程，只写答案的不给分）、设0,sin0,10),1ln(1)(xxkxxaxxxxf，问当a和k取何值时，)(xf在点0x处连续？17、求xxxxxxcos114lim22.18、设0)0(f，0)0(f，exxfxx10]sin)(cos11[lim，求)0(f.19、设1yxey，求)0(y.20、设222)21ln()1(xxxxxxy，求dy.、求不定积分dxxx2sin12sin.22、求定积分xdxxln2314.23、求微分方程)1(122xyydxdy的通解.24、判定级数111nnn的敛散性.25、计算二重积分Ddxdyyxxy)(，其中D由直线0yx，0yx及1y所围成的区域.（超纲）浙江专升本辅导四、综合题（本大题共三题，每小题10分，共30分）26、已知函数23)1(xxy，求：)1(函数的单调区间及极值；)2(函数图形的凹凸区间及拐点.27、已知抛物线xy82，)1(求抛物线在点)4,2(处的法线方程；)2(抛物线0y的部分及其在点)4,2(的法线和x轴围成一个平面图形，求此图形绕y轴旋转一周所生成的旋转体的体积.28、求函数yxyxz161222在有界闭区域2522yx上的最大值和最小值.（超纲）年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试《高等数学》试卷答案一、选择题.1、A解析：,tan2,2arctanxxxy.tan2xy.232arctan2,2,22arctanxx的值域为又2、C解析：数列极限的定义.3、C解析：由题意知：,0y所以y单调递减.根据拉格朗日定理得，在ba,上，,abafbff01,1ffdxdfdxdfxox趋于中间值，所以.0110xxdxdfffdxdf4、D解析：.0,cos1sin4222MxfxdxxxM为奇函数，.0,cossin2243xfxfdxxxN代入具体值求得，为非奇非偶函数，.0,cossin22432xfxfdxxxxP为非奇非偶函数，.PMN5、B解析：直线L:,031020123zyxzyx,714281213211jikjin,7,14,281n平面为：,0224zyx,1,2,42n.21成比例、nn.,21Lnn二、填空题.6.0x解析：因此函数是分段函数，所以间断点是0x.解析：.01,xx时.sin,是一个有界函数时又xx.0sin1limxxx8.0xfba解析：.00存在处可导，在点xfxxfxxbxfxaxfx000lim=xxbxfxfxfxaxfx00000lim=bxbxfxbxfaxaxfxaxfxx000000limlim=.0xfba9.!10解析：高阶导数求导。6878910xxy，576788910xxy56567878910xxy，!109y10.34解析：.2tan3422sin2cos1322cosln32xxxx即.34k11.Cx5arcsin51解析：.5arcsin51551151251122Cxxdxdxx12.1解析：反常积分中的广义积分.dxedxexbx00limbexb0lim.113.31解析：3493lim33313limlim11nnnnaannnnnnn.31R14.32（超纲）15.xCey解析：此方程是一阶线性微分方程.dxydyydxdy.xdxxPCeeCy通解为：浙江专升本辅导三、计算题16、解：.01,sinlimlim,11lnlimlim00100处连续在点时，故当xxfakkxkxxfxxfxxxxx17、解：（方法一）111114cos11233lim11cos233limcos114lim22222222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx（方法二）原式=1112cos111114lim22xxxxxx18、由题设知道.2lim0,1lim21sincos11lim2cos1sin0,1sincos11lim0220020xxffxxfxxfxxfxfxxxxxfxxxxx所以则都是等价无穷小，与，与时，当19、解：（方法一）由.0,100.1,eyyxxeeyyxeeyyyyy所以时，由原式得当解得（方法二）.010,0,.100eyyxyxeeyyxyy得代入又时，由原式得当、解：.21ln.21ln2121211121ln222222dxxxxdyxxxxxxxxxxxxxxxxy故21、解：（方法一）.sin1lnsin1sin1sin1cos2sin2sin12sin22222Cxxxddxxxxdxxx（方法二）.2cos2123ln2cos21232cos21sin12sin2Cxxxddxxx22、解：.3142ln1614322ln1614lnlnln23234123412341xdxxxxxdxxdxx23、解：分离变量，得.1122xdxyydy积分之，得,11ln1ln12Cxxy故所求的通解为.1112xxCy、解：112323.111,111nnnnnnnn收敛别法，知级数利用正项级数的比较判收敛，而级数因25、（超纲）解：.15210dxyxxydydxdyyxxyyyD注：原式dyyxxydxdyyxxydxxx110011)()(，仅画出积分区域图形，但解题过程全错，可给2分。四、综合题26、解：函数)(xf的定义域为),1()1,(，又32)1()3(xxxy，令0y，得到驻点为01x，32x.又4)1(6xxy，令0y，得到03x.列表如下：x0,01,03,13,3y00y0y凸拐点凹凹极小值427凹由表可知，（1）函数的单调递增区间为)1,(，),3(，单调递减区间为)3,1(，极小值为427)3(y.（2）凹区间为)1,0(，)3,1(，),3(，凸区间为)0,(，拐点为)0,0(.、解：（1）ydxdy4，14,2yxdxdy，于是在)4,2(处，抛物线的法线方程为)2(4xy，即06yx.（2）、由0682yxxy求得交点)4,2(和)12,18(（不合题意，舍去），从而旋转体的体积1599204]320)6(31[]64)6[(534042yydyyyV.28、（超纲）解：因函数yxyxz161222在有界闭区域2522yx上必取得最大值和最小值，由01620122yyzxxz可见在2522yx内函数z无驻点，即z的最大值和最小值必在边界2522