2013-2017高考数学真题分类-第2章--函数-4-指数函数与对数函数(理科)

·1·第四节指数函数与对数函数题型24指（对）数运算及指（对）数方程1.(2013浙江理3）已知yx,为正实数，则().A.yxyxlglglglg222B.lg()lglg222xyxyC.lglglglg222xyxyD.lg()lglg222xyxy2.（2014陕西理11）已知42,lgaxa，则x_______.3.（2015浙江理12）若4log3a，则22aa．3.解析因为242221log3log3log3log32a，所以22log3log31432222333aa.4.（2015江苏7）不等式224xx的解集为．4.解析由题意22242xx，根据2xy是单调递增函数，得22xx，即22210xxxx，故不等式的解集为1,2或写成12xx均可．5.（2015重庆理4）“1x”是“12og()l20x”的（）.A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.解析由12(og0l2)x得1x，且“1x”是“1x”的充分不必要条件．故选B．6.（2015四川理8）设,ab都是不等于1的正数，则“333ab”是“log3log3ab”的（）.A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.解析若333ab，则1ab，所以log3log3ab，故为充分条件；若log3log3ab不一定有1ab，比如，13a，3b，所以333ab不成立.故选B.·2·7.（2016浙江理12）已知1ab.若5loglog2abba，baab，则a，b.7.4；2解析设logbat，因为1ab，则1t.由题知152tt，解得2t，所以2ab.由baab，将2ab带入，得22bbbb，22bb，得2,4ba.8.(2017北京理8)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为8010，则下列各数中与MN最接近的是（）.（参考数据：lg30.48）A.3310B.5310C.7310D.93108.解析设36180310MxN，两边取对数36180lglg3lg10361lg380x，即93.28x，所以接近9310.故选D.9.（2017全国1理11）设x，y，z为正数，且235xyz，则（）.A．235xyzB．523zxyC．352yzxD．325yxz9.解析设235xyzt，两边取对数得ln2ln3ln5lnxyzt，则2ln2ln2tx3ln3ln3ty，5ln5ln5tz，ln0t.设lnxfxx，2ln1lnxfxx，当0,ex时，0fx，fx单调递减；当e,x时，0fx，fx单调递增.而24lnxft，33lnyft，55lnzft.由e345，得325yxz.故选D.题型25指（对）数函数的图像及应用1.（2014浙江理7）在同一直角坐标系中，函数0,logaafxxxgxx…的图像可能是（）.·3·1-1-111-1-111111OOOOyyyyxxxxA.B.C.D.2.（2015山东理14）已知函数01xfxabaa，的定义域和值域都是10，，则ab.2.解析分情况讨论：①当1a时，xfxab在1,0上递增．又1,0fx，所以1100ff，无解；②当01a时，xfxab在1,0上递减．又1,0fx，所以1001ff，解得122ab，所以32ab．3.（2015陕西理9）设()ln,0fxxab，若()pfab，()2abqf，1(()())2rfafb，则下列关系式中正确的是（）．A．qrpB．qrpC．prqD．prq3.解析解法一：依题意111lnlnlnln222pabababfafbr，lnln2abqabp,所以prq.故选C.解法二：令1,9ab,ln9ln3p,19lnln52q，1ln1ln9ln32r，所以prq.故选C.·4·4.（2015天津理7）已知定义在R上的函数21xmfx（m为实数）为偶函数，记0.5log3af，2log5bf，2cfm，则a，b，c的大小关系为（）.A．abcB．acbC．cabD．cba4.解析因为函数21xmfx为偶函数，所以0m，即21xfx，所以221loglog330.521(log3)log21213123aff，2log502log52142(0)210bfcfmf，.所以cab.故选C.题型26指（对）数函数的性质及应用1.(2013天津理7）函数0.5()2|log|1xfxx的零点个数为（）.A．1B．2C．3D．42.（2014重庆理12）函数2loglog2fxxx的最小值为_________.3.(2016全国丙理6)已知432a，233b，1325c，则（）.A.bacB.abcC.bcaD.cab3.A解析由423324a，233b，得ab，由1223332554c，则ca因此cab.故选A.4.（2016全国乙理8）若1ab，01c，则（）.A.ccabB.ccabbaC.loglogbaacbcD.loglogabcc4.C解析对于选项A：由于01c，所以函数cyx在0,上单调递增.由1ab，得ccab.故A错误.对于选项B：要比较cab与cba的大小，只需比较ab与cab的大小.构造函数xayb，因为1ab，所以1ab，因此函数xayb在R上单调递增.又01c，所以caabb，即·5·ccbaab.故B错误.对于选项C:要比较logbac与logabc的大小关系，只需比较lnlncbb与lnlncaa的大小，即比较lnbb与lnaa的大小.构造辅助函数lnfxxx，ln1fxx.令0fx得1ex.函数fx在1,e上单调递增，因此，若1ab，得lnlnaabb，故11lnlnaabb.又ln0c，所以lnlnlnlnccaabb，即lnlnlnlnbcacab，得loglogabbcac.故选项C正确.对于选项D：比较logac与logbc的大小，只需比较lnlnca与lnlncb的大小，即比较lna与lnb的大小.又1ab，得lnln0ab，所以11lnlnab.又ln0c，得lnlnlnlnccab，即loglogabcc.故选项D不正确.综上可得.故选C.5.（2016上海理22）已知aR，函数21logfxax.（1）当5a时，解不等式0fx；（2）若关于x的方程2log4250fxaxa的解集中恰有一个元素，求a的取值范围；（3）设0a，若对任意1,12t，函数fx在区间,1tt上的最大值和最小值的差不超过1，求a的取值范围.5.解析（1）由题意221log50log1x，即151x，整理得410xx，即410xx.故不等式的解为104xxx或；·6·（2）依题意221loglog425aaxax，所以14250aaxax，①整理得24(5)10axax，即1410xax，②当4a时，方程②的解为1x，代入①式，成立；当3a时，方程②的解为1x，代入①式，成立；当3a且4a时，方程②的解为1x或14a，若1x为方程①的解，则110aax，即1a，若14xa为方程①的解，则1240aax，即2a.要使得方程①有且仅有一个解，则12aa„或12aa„，即12a„.综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则a的取值范围为12a„或3a或4a.（3）当120xx时，1211aaxx，221211loglogaaxx，所以fx在0,上单调递减.因此fx在,1tt上单调递减.故只需满足11fxft„，即2211loglog11aatt„，所以1121aatt„，即12111tatttt…，设1tr，则10,2r，2111232trrttrrrr.当0r时，2032rrr；当102r„时，212323rrrrr，又函数2yxx在0,2递减，所以219422rr….故112293332rr„.故a的取值范围为23a….评注第（3）问还可从二次函数的角度考查，由1121aatt„整理得2110atat…对任·7·意1,12t成立.因为0a，函数211yatat的对称轴0102ata，故函数在区间1,12上单调递增.所以当12t时，y有最小值3142a，由31042a…，得23a….故a的取值范围为2,3.欢迎访问“高中试卷网”——