2.3-直线的参数方程-课件(人教A选修4-4)(2)

[读教材·填要点]1．直线的参数方程经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．2．直线的参数方程中参数t的几何意义(1)参数t的绝对值表示．(2)当0MM与e(直线的单位方向向量)同向时，t取．当0MM与e反向时，t取，当M与M0重合时，t＝.x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα.参数t所对应的点M到定点M0的距离正数负数0[小问题·大思维]1．经过点M(1,5)且倾斜角为π3的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是什么？提示：根据直线参数方程的定义，易得x＝1＋t·cosπ3y＝5＋t·sinπ3，即x＝1＋12t，y＝5＋32t.2．已知直线l的参数方程为x＝－1－22ty＝2＋22t(t为参数)，则直线l的斜率为何值？提示：直线l的参数方程可化为x＝－1＋tcos3π4y＝2＋tsin3π4，故直线的斜率为tan3π4＝－1.[研一题][例1]已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P(1,1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4)和点N(－2,6)的距离．[精讲详析]本题考查直线参数方程的求法及其简单应用．解答本题需要根据直线方程确定直线的倾斜角α，然后再写出直线l的参数方程．由直线方程3x－4y＋1＝0可知，直线的斜率为34，设直线的倾斜角为α，则tanα＝34，sinα＝35，cosα＝45.又点P(1,1)在直线l上，所以直线l的参数方程为x＝1＋45t，y＝1＋35t(t为参数)．因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M在直线l上．由1＋45t＝5，得t＝5，即点P到点M的距离为5.因为点N不在直线l上，故根据两点的距离公式，可得|PN|＝1＋22＋1－62＝34.[通一类]1．一直线过P0(3,4)，倾斜角α＝π4，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离．解：设直线的参数方程为x＝3＋22t，y＝4＋22t，将它代入已知直线3x＋2y－6＝0得3(3＋22t)＋2(4＋22t)＝6解得t＝－1125∴|MP0|＝|t|＝1125.[研一题][例2]直线l通过P0(－4,0)，倾斜角α＝π6，l与圆x2＋y2＝7相交于A、B两点．(1)求弦长|AB|；(2)过P0作圆的切线，求切线长；(3)求|P0A|和|P0B|的长；(4)求交点A、B的坐标．[精讲详析]本题主要考查直线的参数方程与圆的综合应用．解答本题需先求出直线l的参数方程，然后根据相关概念及性质求解即可．∵直线l通过P0(－4,0)，倾斜角α＝π6，∴可设直线l的参数方程为x＝－4＋32ty＝t2代入圆方程，得(－4＋32t)2＋(12t)2＝7整理得t2－43t＋9＝0.(1)设A、B对应的参数分别t1和t2，由韦达定理得t1＋t2＝43，t1t2＝9∴|AB|＝|t2－t1|＝t1＋t22－4t1t2＝23.(2)设圆过T，它们切线为P0T，则|P0T|2＝|P0A|·|P0B|＝|t1t2|＝9∴切线长|P0T|＝3.(3)解方程t2－43t＋9＝0，得t1＝33，t2＝3∴|P0A|＝33，|P0B|＝3.(4)将t1＝33，t2＝3代入直线参数方程x＝－4＋32ty＝t2得A点坐标为(12，332)，B点坐标为(－52，32)．[悟一法]不用求出A、B两点的坐标，根据直线参数方程中t的几何意义，再根据根与系数的关系即可求出AB、P0A，P0B以及切线P0T的长．[通一类]2．已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝π6，(1)写出直线l的参数方程．(2)设l与圆x2＋y2＝4相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．解：(1)直线的参数方程为x＝1＋tcosπ6，y＝1＋tsinπ6，即x＝1＋32t，y＝1＋12t.(2)把直线x＝1＋32ty＝1＋12t代入x2＋y2＝4，得(1＋32t)2＋(1＋12t)2＝4，t2＋(3＋1)t－2＝0，t1t2＝－2，则点P到A，B两点的距离之积为2.[研一题][例3]过点P(102，0)作倾斜角为α的直线与曲线x2＋2y2＝1交于点M，N，求|PM|·|PN|的最小值及相应的α的值．[精讲详析]本题考查直线与椭圆的位置关系．解答本题需要先确定直线的参数方程，然后利用参数的几何意义求解．设直线的参数方程为x＝102＋tcosαy＝tsinα(t为参数)，代入曲线方程并整理得(1＋sin2α)t2＋(10cosα)t＋32＝0则|PM|·|PN|＝|t1t2|＝321＋sin2α所以当sin2α＝1时，即α＝π2，|PM|·|PN|的最小值为34，此时α＝π2.[悟一法]直线的参数方程x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα中参数t具有明显的几何意义，搞清参数t的几何意义是解决此类问题的关键．[通一类]3．过抛物线y2＝4x的焦点作倾斜角为α的弦，若弦长不超过8，求α的取值范围．解：根据题意可将弦所在的直线设成x＝1＋tcosαy＝tsinα，代入抛物线方程得t2sin2α＝4＋4tcosα，即(sin2α)·t2－4tcosα－4＝0.因为(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝(4cosαsin2α)2＋16sin2α＝16cos2αsin4α＋16sin2α＝16sin4α≤64，所以sin4α≥14，解得sinα≥22，所以α∈[π4，3π4]．本课时考点是直线的参数方程中参数的几何意义及直线的参数方程与圆的综合应用.2012年广东高考以直线、圆的参数方程为背景考查直线与圆(部分)的交点问题，代表了高考模拟命题的方向．[考题印证](2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为x＝5cosθy＝5sinθ(θ为参数，0≤θ≤π2)和x＝1－22ty＝－22t(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．[命题立意]本题主要考查直线的参数方程的应用，以及直线与圆的位置关系．[解析]因为0≤θ≤π2，所以曲线C1的普通方程为x2＋y2＝5(x≥0，y≥0)，把直线的参数方程代入，得到(1－22t)2＋(－22t)2＝5，且1－22t≥0，－22t≥0，即t2－2t－4＝0(t≤0)，所以t＝－2，此时x＝2，y＝1，所以曲线C1与C2的交点坐标为(2,1)．[答案](2,1)3．直线x＝－2－2ty＝3＋2t(t为参数)上与点P(－2,3)的距离等于2的点的坐标是()A．(－4,5)B．(－3,4)C．(－3,4)或(－1,2)D．(－4,5)或(0,1)[解析]d＝－2－2t－22＋3＋2t－32＝2，∴t＝±22.当t＝22时，对应点为(－3,4)，当t＝－22时，对应点为(－1,2)．故选C.4．若直线l1：x＝1－2t，y＝2＋kt(t为参数)与直线l2：x＝s，y＝1－2s，(s为参数)垂直，则k＝__________.[解析]直线l1的普通方程为kx＋2y－4－k＝0，直线l2的普通方程为2x＋y－1＝0.由l1⊥l2得－k2·(－2)＝－1，∴k＝－1.5．设直线l1的参数方程为x＝1＋t，y＝1＋3t(t为参数)，直线l2的方程为y＝3x＋4，则l1与l2间的距离为__________．[解析]l1的普通方程为3x－y－2＝0，∴l1，l2间距离d＝4＋232＋12＝3510.变式训练在抛物线y2＝2px中，若两条焦半径在一条直线上，且焦半径的长分别为m和n，则1m＋1n为定值(焦半径是指抛物线上的点到焦点的线段)．[解析]过抛物线焦点P的直线的参数方程为x＝p2＋tcosα，y＝tsinα，代入抛物线方程，得sin2α·t2－2pcosα·t－p2＝0，设方程的两根为t1和t2，则mn＝t1·t2＝p2sin2α，m＋n＝t2－t1＝t1＋t22－4t1t2＝2psin2α，∴1m＋1n＝m＋nmn＝2p为定值．•6．求以椭圆C：x2＋4y2＝16内一点A(1，－1)为中点的弦所在直线的方程．[解析]设以A(1，－1)为中点的弦所在直线l的参数方程为x＝1＋tcosθ，y＝－1＋tsinθ，并将这一方程代入C：(1＋tcosθ)2＋4(－1＋tsinθ)2＝16，即(cos2θ＋4sin2θ)t2＋2(cosθ－4sinθ)t－11＝0.由于A(1，－1)为弦的中点，则交点的两参数t1和t2的和为0，根据韦达定理有cosθ－4sinθ＝0即tanθ＝14，∴直线l的方程为y＋1＝14(x－1)．即x－4y－5＝0.经过两点Q(1,1)，P（4,3）的直线的参数方程，如果应用共线向量的充要条件来求，方程及参数的含义分别是什么？•经过两个定点Q(X1,Y1),P(X2,Y2)(其中x1≠x2)的直线的参数方程为121211xxxyyy其中为参数1已知两点A(3,4)，B（-5,3）和直线L：3x+5y+4=0.求过点A,B的直线的参数方程，并求它与直线L的交点坐标点击进入创新演练大冲关