2001年河南专升本高等数学真题和详细答案-评分标准

12001年河南省普通高等学校选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试一、选择题（每小题1分，共30分，每小题选项中只有一个是正确的，请将正确答案的序号填在括号内）.1．函数1ln(3)yxx的定义域为（）A．[0，3）B．（0，3）C．（0，3]D.[0，3]2．已知2211fxxxx，则fx等于（）A．22xB．22xC．22xD.22x3．设()1cos2fxx，2()gxx，则当0x时，xf是gx的（）A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．等价无穷小D．同阶但不等价无穷小4．对于函数24(2)xyxx，下列结论中正确的是（）2A．0x是第一类间断点，2x是第二类间断点；B．0x是第二类间断点，2x是第一类间断点；C．0x是第一类间断点，2x是第一类间断点；D．0x是第二类间断点，2x是第二类间断点.5．设02f，则0limhfhfhh的值为（）A．1B．2C．0D．46．设cosxye，则dy等于（）A．sinxxeedxB．sinxxeeC．sinxxeedxD．sinxedx7．已知椭圆的参数方程为cos,(0,0)sin,xatabybt，则椭圆在4t对应点处切线的3斜率为（）A．baB．abC．baD．ab8．函数yfx在点0x处可导是它在0x处连续的（）A．充分必要条件B．必要条件C．充分条件D．以上都不对9．曲线323yxx的拐点为（）A．(1,2)B．1C．(0,0)D．(2,4)10．下列函数中，在1,1上满足罗尔定理条件的是（）A．yxB．3xC．2xD．1x11．设()Fx是()fx的一个原函数，则2fxdx等于（）A．12FxCB．122FxCC．FxCD．12FxC412．下列式子中正确的是（）A．()()dFxFxB．()()ddFxFxCC．()()dfxdxfxdxdxD．()()dfxfxdx13．设1210Ixdx，2120xIedx，则它们的大小关系是（）A．12IIB．12IIC．12IID．12II14．定积分2030tanlimxxtdtx等于（）A．B．16C．0D．1315．下列广义积分中收敛的是（）A．11dxxxB．11dxxC．11dxxD．11lndxx516．0011limxyxyxy等于（）A．0B.12C．12D．17．设3zxyx，则11|yxdz等于（）A．4dxdyB．dxdyC．4dxdyD．3dxdy18．函数22,221fxyxyxy的驻点是（）A．0,0B．0,1C．1,0D．1,119．平面3250xyz与240xyz的位置关系是（）A．平行B．垂直C．重合D．斜交20．设222,|,0DxyxyRy，则在极坐标系下，22Dfxydxdy可表示为（）6A.200RdfrdrB.2202RdfrrdrC.200RdfrrdrD.2200Rdfrdr21．设级数11nnu收敛，则limnnu等于（）A．1B．0C．D．不确定22．下列级数中收敛的是（）A．11nnB．123nnnC．12nnnD．21143nnn23．设正项级数1nnu收敛，则下列级数中一定收敛的是（）A．1nnnuB．1nnuC．11nnuD．21nnu24．下列级数中，条件收敛的是（）A．211sinnnB．211(1)nnnC．11(1)nnnD．11(1)2nnn725．设幂级数nnnxa0（na为常数，,2,1n）在点2x处收敛，则该级数1x处（）A发散B．条件收敛C．绝对收敛D．敛散性无法判定26．某二阶常微分方程的下列解中为通解的是（）A．sinyCxB．12sincosyCxCxC．sincosyxxD．12cosyCCx27．下列常微分方程中为线性方程的是（）A．xyyeB．sinyyyxC．22xdxyxydyD．20xxyye828．微分方程yx的通解是（）A．42123124yxCxCxCB．32123112yxCxCxCC．42123112yxCxCxCD．32123118yxCxCxC29．微分方程40yy的通解是（）A．2212xxyCeCeB．212xyCCxeC．212xyCCeD．12cos2sin2yCxCx30．对于微分方程22yyx利用待定系数法求特解*y时，下列特解设法正确的是（）A．*2.yaxbxcB．*22yxaxbxcC．*yxaxbD．*2yxaxbxc二、填空题（每小题2分，共20分）91．10lim1sinxxx________．2．设33xfxx，则40f________．3．曲线arctan2yx在0,0点的法线方程为________．4．sinxxeedx________．5．由曲线2,0,1yxyx所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积是_______．6．设yxzxy，则zx________．7．交换积分110,xIdxfxydy的积分次序，则I________．8.幂级数15nnxn的收敛半径为________．9．幂级数02!nnnxn的和函数sx为________．10．方程22sectansectan0xydxyxdy①的通解为________．三、计算题（每小题4分，共36分）101．求极限0lncotlimlnxxx2．求函数12(12)xyx的导数.3．已知,zfxyxy且f可微分，求,zzxy.4．计算2ln(1)xxdx.5．计算22211.1dxxx6．计算2DIxydxdy，其中D为224,0xyx所围的右半圆.7．计算积分3(sin)Lxydxxydy，其中L是曲线2yx上从点0,0到点1,1之间的一段有向弧.8．求过点(1,1,1,)P且平行于平面1:2340xyz与2:60xyz的直线方程．9．将函数2123fxxx展开为麦克劳林级数，并写出收敛区间．11四、应用题（每小题5分，共10分）1．某工厂生产某产品需两种原料A、B，且产品的产量z与所需A原料数x及B原料数y的关系式为2287zxxyy.已知A原料数x的单价为1万元/吨，B原料数的单价为2万元/吨.现有100万元，如何购置原料，才能使该产品的产量最大？2．已知位于第一象限的凸曲线经过原点(0,0)和点1,1A且对于该曲线上的任一点,Pxy，曲线弧OP与直线OP所围成的平面图形的面积为3x．求曲线弧的方程．五、证明题（4分）证明方程203021xxdtet在区间0,1内有唯一实根.12答案1，【答案】A.【解析】x要求0x；ln(3)x要求30x，即3.x取二者之交集，得03.x应选A.2，13【答案】C.【解析】因为2221112fxxxxxx，故2()2fxx，应选C.3，【答案】D.【解析】因为2220001(2)1cos22limlimlim2xxxxfxxgxxx，所以由定义知，xf是gx的同阶但不等价无穷小.选D.4，【答案】B．【解析】因为204lim(2)xxxx，故0x第二类间断点，且0x为无穷型间断点；14又因为22224(2)(2)2limlimlim2(2)(2)xxxxxxxxxxxx，故2x是第一类间断点，且为可去型间断点.所以选B．5，【答案】D.【解析】0limhfhfhh0(0)0limhfhffhfh000()(0)00limlimhhfhffhfhh004.ff选D.6，【答案】A.【解析】因为(cos)sin()sinxxxxxyeeeee，所以sinxxdyydxeedx，15故选A.7，【答案】C.【解析】cosdybtdt，sindxatdt，所以dxdydtdxdtdycot.bta故椭圆在4t对应点处切线斜率为4bya，应选C.8，【答案】选C.9，16【答案】A.【解析】236fxxx；6661fxxx.令0fx，得1x；无二阶不可导点.又当1x时，0fx，而当1x时，0fx，故(1,2)为拐点，选A.10，【答案】C．【解析】（1）．x在0x处不可导，故x在1,1内不可导，排除A；（2）．3x在端点1x及1x处的值不相等，排除B；（3）．1x在0x处无定义，故1x在1,1上不连续，排除D.选C.11，17【答案】B．【解析】2fxdx1122(2).22fxdxFxC选B．12，【答案】D.13，【答案】C.【解析】因为当0,1x时，21x，而21xe，且2xe不恒等于2x，故12II，选C.1814，【答案】D.【解析】2030tanlimxxtdtx222200tan1limlim.333xxxxxx选D.15，【答案】A.【解析】11dxxx32111122lim12012|xxdxxx，故11dxxx收敛，选A.16，19【答案】B.【解析】0011limxyxyxy0011lim211xyxy，选B.17，【答案】C.【解析】23zyxx；zxy.故23.zzdzdxdyyxdxxdyxy所以，114|yxdzdxdy.选C．18，20【答案】D..【解析】由方程组,220,,220,xyfxyxfxyy得1,1,xy故驻点为1,1.选D.19，【答案】B.【解析】平面3250xyz的法向量为13,2,1n；平面240xyz法向量为21,2,1n.因为12.0nn，所以1n⊥2n，平面3250xyz与240xyz垂直，选B.2120，【答案】C.21，【答案】A．【解析】因为11nnu收敛，故由级数收敛的必要条件知lim10nnu所以，lim1lim1101.nnnnuu选A.2222，【答案】B.【解析】（1）11nn1121nn为112p的p—级数，故11nn发散，排除A；（2）123nnn123nn为公比213q的等比级数，故收敛，选B；（3）记2(1,2,...)nnunn，因为1lim2lim211nnnnunun，故由达朗贝尔比值审敛法知12nnn发散，排除C；（4）因为211nn为21p的p—级数，故211nn收敛；又143nn为公比的等比级23数，故143nn发散.所以由级数的性质知211