数学物理方法-场论的基本概念

场论的基本概念《数理方法》课程必备基础；在弹性力学、流体力学、电磁学等学科中具有应用广泛；掌握场论基本概念及其计算方法，对数理方程的学习至关重要；场的概念场如果在全空间或部分空间中的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，就称这空间里确定了该物理量的场。场的实例温度场、密度场、电势场；重力场、流场、加速度场；场的分类：数量场和矢量场物理量是否具有方向性；场的分类：稳定场和不稳定场物理量是否随时间改变；如：定常流，非定常流。数量场的梯度数量场的记法u(x,y,z)表示点M(x,y,z)坐标的单值函数，记为u(M).要求，u存在连续的一阶偏导数。方向导数u(x,y,z)在场中的点M(x,y,z)处沿某一方向的变化率||)()(limMPMuPuluMPMl表示从点M出发指向点P的射线方向。coscoscoszuyuxuluM方向导数的计算其中｛cosα,cosβ,cosγ｝是射线l的方向余弦。方向导数方向导数是否有界？梯度的概念数量场u在点M处存在这样的矢量G(M)，沿它的方向，u的方向导数最大，以此最大值作为G(M)的模，称矢量G(M)为函数u在点M处的梯度，记为G(M)=gradu(M)那么，在什么方向上，方向导数最大呢？记l0是射线l上的单位矢量。表示变化率，有界。coscoscoszuyuxuluM数量场的梯度)},cos,cos,cos({cos|},,{|0lzuyuxulu给定点，则该值确定。调节l的方向，该值变。)},,,cos({|},,{|)},,,cos({|||},,{|},,{coscoscos0000lzuyuxuzuyuxulzuyuxulzuyuxulzuyuxuzuyuxulu那么，在什么方向上，方向导数最大呢？矢量l和同方向时。},,{zuyuxu向量夹角数量场的梯度矢量l和同方向时，方向导数最大，因此，梯度为的方向就确定了。},,{zuyuxu},,{gradzuyuxuuGkzujyuixuuGgradkji,,分别是x,y,z方向的单位矢量。但是，其长度呢？梯度的概念数量场u在点M处存在这样的矢量G(M)，沿它的方向，u的方向导数最大，以此最大值作为G(M)的模，称矢量G(M)为函数u在点M处的梯度)},cos,cos,cos({cos|},,{|0lzuyuxulu2.,,.uxyzxyz例设123(1),,0,0,0,1,1,12,1,1234uxyzPPPbijk求在点及处沿的方向导数。2uM（）在上述三点处，的最大方向导数为何值？解：234cos,cos,cos.292929b(1)向量的方向余弦为,,coscoscosUxyzbuuuubxyz在点沿的方向导数为234292929yzxzxy12310,,0.29PPPuuubbb故221.29PuMub在上述三点处，的最大方向导数为数量场梯度：举例静电场场强（置于原点处的点电荷q在其周围空间形成的电势场）22241zyxqu求解任意点M(x,y,z)的梯度。引力场：2221zyxGMu求解任意点M(x,y,z)的梯度。方向导数、梯度的数理含义数学含义：数量场中每一点M处的梯度，必垂直于过该点的场函数的等值面u(x,y,z)=c（常数）,并指向函数增大的方向。例如：梯度在热传导中的物理解释热量从温度值较大的等温面流向值小的等温面。例如：物体在光滑曲面滑落其经过路径各点的方向上，重力势场具有最大的方向导数。矢量场的散度和旋度矢量场的记法：A(x,y,z)表示点M(x,y,z)坐标的矢量函数，记为A(M)A(M)＝{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}其中，P,Q,R称为矢量场A(M)的坐标。矢量线曲线上每一点M处，场矢量A(M)都位于该点的切线上。例如：流场中的流线，磁场中的磁力线。通量矢量场A(M)通过某曲面S的矢量线数，称为通量。例如，通过某曲面的流量，即是通量。SdAS面积微单元矢量矢量场的散度散度在场中M点处，穿出包含M点的任意闭曲面ΔS的通量对体积的变化率其中，ΔV是ΔS包含的区域。SVdAVS1lim0记为divA(M)},,{}),cos(,),cos(,),{cos(dxdzdzdxdydzdSzndSyndSxndSndS面积微单元矢量矢量场的散度dxdydzzRyQxPRdxdyQdzdxPdydzdxdzdzdxdydzzyxRzyxQzyxPdzyxRzyxQzyxPdAsVsss)(},,{)},,(),,,(),,,({)},,(),,,(),,,({SS因此，散度的微分形式为zRyQxPMA)(div1.22221.32015,,aijkgraddivaxyz例设对下列数量场分别求出及其中gradijkxyz解：332222222232222xxyziyxyzjzxyzk矢量场的散度：例1122222222122221222212222122223201532015xyzaxyzixyzjxyzkaxyzaxyzaxyz33222222223222232015divaxxyzyxyzzxyz故注：散度与坐标的选择无关.kjia15203矢量场的旋度环量矢量场A(M)沿有向闭曲线L的曲线积分称为矢量场A沿L的环量。例如：质点受力场F沿闭曲线L运动所作的功；速度场的环流量等。LdAl环量面密度在矢量场A(M)中，取过点M0且以给定方向n作为切面法向的微小曲面ΔS，场A在ΔS的边界ΔL上的环量对面积ΔS的变化率LSdASl1lim0矢量场的旋度环量面密度选择不同的方向n，有不同的微小曲面ΔS，那么有不同的环量面密度。总有一个方向，使得密度最大。这个方向对应的矢量R(M)，就定义为矢量场的旋度，记为R=rotA。旋度的计算：Stokes公式},,{rotyxxzxyPQRPQRARQPzyxkjikPQjRPiQRAyxxzxy)()()(rotLSdASl1lim02.,,.uxyzxyz例设矢量场的旋度：举例3(())(()).divgraduMrotgraduM（）在上述三点处，求及123(1),,0,0,0,1,1,12,1,1234uxyzPPPbijk求在点及处沿的方向导数。(3),graduyzixzjxyk0,yzxzxydivgraduMxyz()0.ijkrotgraduMxyzyzxzxy