北京大学数学物理方法经典课件第七章——数学物理方程的定解问题

2020/2/271参考书：R.Haberman著，郇中丹等译，《实用偏微分方程》（原书第四版），机械工业出版社，20072020/2/2722020/2/273一、数学物理方程(泛定方程):物理规律的数学表示物理现象物理量u在空间和时间中的变化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。数学语言描述泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程，特别是偏微分方程和积分方程。重点讨论：二阶线性偏微分方程。例：牛顿第二定律反映的是力学现象的普遍规律，跟具体条件无关。2020/2/274三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程双曲型方程波动方程为代表抛物型方程扩散方程为代表椭圆型方程泊松方程为代表退化为拉普拉斯方程2(,)ttxxuaufxt2(,,,)uauFxyztt2(,,)auFxyz0F0u2020/2/27551边界问题---边界条件体现边界状态的数学方程称为边界条件2历史问题----初始条件体现历史状态的数学方程称为初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件→不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。三、定解问题在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的特殊性，即个性。泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。它反映了问题的共性。二、定解条件2020/2/2766具体问题求解的一般过程：1、根据系统的内在规律列出泛定方程——客观规律．2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和初始条件——求解所必须的已知条件．3、求解方法——行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法和变分法2020/2/2777.1数学模型（泛定方程）的建立建模步骤：（1）明确要研究的物理量是什么？从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部分与它的相互作用。（2）研究物理量遵循哪些物理规律？（3）按物理定律写出数理方程（泛定方程）。2020/2/278(一）均匀弦横振动方程现象描述（如图）：沿x轴绷紧的均匀柔软的细弦，在平衡位置(x轴)附近产生振幅极小的横向振动目的：建立与细弦上各点的振动规律相应的方程设定:(1)弦不振动时静止于x轴;(2)用u(x,t)表示t时刻弦上任一点x在垂直于x轴方向上的横向位移（偏离）情况弦的横振动2020/2/279选取不包括端点的一微元[x,x+dx]弧B段作为研究对象.研究对象:(4)设单位长度上弦受力F(x,t)，线力密度为：假设与近似：(1)弦是柔软的(不抵抗弯曲),张力沿弦的切线方向(2)振幅极小,张力与水平方向的夹角1和2很小，仅考虑1和2的一阶小量，略去二阶小量(3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略(,)(,)/fxtFxt质量线密度，u(x)u+duu012T2T1xx+dxFB2020/2/2710B段弦的原长近似为dx.振动拉伸后：222d(d)(d)d1(d/d)dsxuxuxxu(x)u+duu012T2T1xx+dxBFB段的质量：弦长dx，质量线密度，则B段质量m=dx物理规律：用牛顿运动定律分析B段弦的受力及运动状态：22ddttufmmut牛顿运动定律：2020/2/2711①沿x-方向：弦横向振动不出现x方向平移，得力平衡方程2211coscos0TT②沿垂直于x-轴方向：由牛顿运动定律得运动方程2211sinsin(,)d(d)ttTTFxtxxu12120,cos1.，，11sintanxxxuux22dsintanxxxu在微小振动近似下：由（1）式，弦中各点的张力相等u(x)u+duu012T2T1xx+dxBF21TT（1）（2）2211dsinsinxxxxxTTTuu2020/2/2712d(,)(,)dxxxxxxxttuuTFxtTuFxtux2/aT波动方程：波速a(,)(,)/fxtFxtd(,)d(d)xxxxxttTuuFxtxxu（）受迫振动方程2(,)ttxxuaufxt单位质量弦所受外力，线力密度令………一维波动方程2020/2/271322222uuafgtx………一维波动方程------非齐次方程222220uuatx------齐次方程忽略重力和外力作用：如考虑弦的重量：u(x)u+uu012T2T1xx+xBFdgx沿x-方向，不出现平移2211coscosTT沿垂直于x-轴方向2211sinsin(,)dd(d)ttTTFxtxgxxu（1）（2）因为：d02211ddsinsindddxxxxxxxuTTTuuTuTx所以有：讨论：dd(,)dd(d)dttuTFxtxgxxux2020/2/2714（二）输动问题--扩散问题扩散现象：系统的浓度不均匀时，将出现物质从高浓度处向低浓度处转移的现象，称之为扩散。①扩散定律即裴克定律：这是一条实验定律数学建模：建立空间各点浓度u(x,y,z,t)的方程物理规律：以扩散定律和粒子数守恒定律为研究基础②粒子数守恒定律：单位时间内流入某一体积的粒子数与流出这一体积的粒子数之差等于此体积内的单位时间内粒子数的增加量处理方法：在浓度不均匀的无源空间，划出任一小立方体V为研究对象，分析浓度变化规律。2020/2/2715浓度不均匀:用浓度梯度表示；u扩散流强弱（强度）：用单位时间通过单位面积的物质的量表示；q扩散（裴克）实验定律：qDuuuuDijkxyzxyz),,(zyx(,,)xdxydyzdzdxdydzxqdxxq扩散系数设定：处理方法：在浓度不均匀的无源空间，划出任一小立方体V为研究对象，分析浓度变化规律。扩散流强度与浓度梯度间关系：采用裴克实验定律确定体元Ｖ内粒子数：zyxtxyxuddd,,,2020/2/2716xyz),,(zyx(,,)xdxydyzdzdxdydzxqdxxq考察沿x-方向扩散流情况：单位时间沿x-方向净流入量()xdxxqqqdydzdxdydzx同理沿y和沿z方向净流入量由粒子数守恒定律，有负号表示扩散方向与浓度梯度方向相反单位时间内向V的净流入量ddd,qxyzydddqxyzz下面由粒子数守恒定律建立V内粒子数变化规律。dddddddddqqqxyzxyzxyzxyz单位时间内V内粒子数的增加量ddddddddddddqqqxyzxyzxyzxuxtyyzzddduxyzt2020/2/2717如果扩散是均匀的,即D是一常数，则可以令D=a2，则有23(,,,)tuauFxyzt222222322220xuuuuaauuatztyuut0()()()uuuuDDDtxxyyzz代入扩散定律三维扩散方程如果所研究的空间存在扩散源，源强度与u(x,y,z,t)无关，且为F(x,y,z),这时扩散方程修改为如果所研究的空间存在源，源强度与u(x,y,z,t)成正比，即F(x,y,z)=b2u(x,y,z)这时扩散方程修改为223(,,,)tuaubuxyztxqDuuqDxqqqudxdydzdxdydzdxdydzdxdydzxyzt讨论：2020/2/271823auF密度场：密度在空间的分布构成一个标量场。23uauFt有扩散源时系统的密度场满足非齐次扩散方程稳定状态：密度u不随时间变化，则泊松方程无扩散源：F=030u拉普拉斯方程（三）泊松方程或拉普拉斯方程:稳定场问题2020/2/2719例1热传导所要研究的物理量：温度(,,,)uxyzt物理规律：采用傅里叶实验定律热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。数学建模：傅里叶定律：qku温度不均匀:用温度梯度表示；u传热的强弱即热流强度：用单位时间内通过单位面积的热量表示；q设定：ˆnuqknn沿曲面法向流出热量：热传导系数2020/2/2720nnqq②有限时间内即时刻t1到t2通过闭曲面S流入V的热量为211ddttSQkuSt高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量对包围该体积的面积分）2211213ddddttttVVQkuVtkuVtdddddnnQuqSdtqSdtkStn热场MSdSVˆn处理方法：在温度不均匀的无源空间，划出任一封闭曲面S包围的体积元V（如图）。①在S上选取任一足够小的微面元dS，在此面元范围内热流强度近似为常量。ˆˆdddduunnkunStkuStddSVkuSkuV那么在dt时间内从dS流入V的热量为(向为正)：nˆnuqknn2020/2/27212113ddttVQkuVt1(,,,)uyztx2(,,,)uyztx221(,,,)(,,,)dVQcuxyztuxyztV12QQ③流入的热量导致V内的温度发生变化22113ddddttttVVukucVtVtt3kcuut23uauft流入的热量：④温度发生变化需要的热量(c比热容，ρ质量密度)：21ddttVuctVt21ddttVucVtt23au热传导方程热场MSSVˆn如果物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程总结：热传导：热量的传递；扩散：粒子的运动，两者本质不同，但满足同一微分方程2020/2/2722例2静电场电势问题。介质方程:DEijkxyz其中:0)(2)ED（1高斯定理:环路定理:物理规律：由电磁学可知，静电场满足静电学高斯定理、环路定理和介质方程。数学建模：建立电势u(x,y,z)与电荷密度ρ(x,y,z)的关系。由电场的高斯定理/DE物理问题：在介电常数为ε的介质空间，存在电荷分布ρ(x,y,z)⇒激发电场⇒形成电势分布u(x,y,z)。2020/2/27230若空间无电荷，即电荷密度，上式成为称这个方程为拉普拉斯方程.由电场的环路定理，可知静电场是一个保守场.由保守场的性质，引入电势u,且电场是电势梯度的负值，即：uE3()Euuu3/u22232220uuuuxyz进一步对电场取散度，有：泊松方程设电势为:u(x,y,z)。/E2020/2/2724§7.13.4.2020/2/27257.2定解条件数学物理方程的定解在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。1数学物理方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。它反映了问题的共性。2定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的特殊性，即个性。2020/2/2726初始时刻的温度分布：B、热传导方程的初始条件0(,)|()tuxtxC、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件A、波动方程的初始条件00|()()ttuxuxt——描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度（一）初始条件波动方程含有时间的二阶导数，所以需二个初始条件热传导方程含有时间的一阶导数，所以需一个初始条件此类导方程不含时间的导数，所以不需要