复数的运算(一).

巩固练习复数的运算法则复数加减运算的几何意义问题引入复数的四则运算(一)我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律：abbaabba()()abcabc()()abcabc()abcabac那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？复数的四则运算(一)注意到i21，虚数单位i可以和实数进行运算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我们已经是自然而然地在进行着，只要把这些零散的操作整理成法则即可了！注:⑴复数的减法是加法的逆运算；⑵易知复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).⑶复数的加减法可类比多项式的加减法进行.例1例21.复数加、减法的运算法则：已知两复数z1=a+bi,z2=c+di（a,b,c,d是实数）即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).(1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;(2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i解:原式=()()i124359=i111例1、计算(1－3i)+(2+5i)+(-4+9i)2.复数的乘法法则：2acadibcibdi)()acbdbcadi（(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把换成－1，然后实、虚部分别合并.说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数；i2(3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律即对于任何z1,z2,z3∈C,有,()(),().zzzzzzzzzzzzzzzzz12211231231231213例2()()abicdi解:原式=()abi22=ab22解:原式=()()iiii2643213=()()ii813=iii28243=i525例2.计算(－2－i)(3－2i)(－1+3i)复数的乘法与多项式的乘法是类似的.我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开,运算,类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.注意a+bi与a-bi两复数的特点.思考：设z=a+bi(a,b∈R),那么定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.复数z=a+bi的共轭复数记作?zz,zzabi即?zzzzzzzzzz12121212,另外不难证明:一步到位!例3.计算(a+bi)(a-bi)如图,z1对应向量OZ1,z2对应向量OZ2,根据向量加法可知OZOZOZ12类似地我们知道,两个向量的和满足平行四边形法则,复数可以表示平面上的向量，那么复数的加法与向量的加法是否具有一致性呢？设z1=a+biz2=c+di,则z1+z2=(a+c)+(b+d)ixOyZ1(a,b)ZZ2(c,d)∵OZab1(,),OZcd2(,),根据向量加法的坐标运算可知OZOZOZabcd12(,)(,)=acbd(,)吻合!这就是复数加法的几何意义.类似地,复数减法:Z1(a,b)Z2(c,d)OyxZOZ1-OZ2这就是复数减法的几何意义.练习1.计算:(1)i+2i2+3i3+…+2004i2004;解:原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…+(2001i-2002-2003i+2004)=501(2-2i)=1002-1002i.2.已知方程x2-2x+2=0有两虚根为x1,x2,求x14+x24的值.解:,12,1ix.8)2()2()1()1(22444241iiiixx注:在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用.3.已知复数是的共轭复数，求x的值．)R()23(222xixxxxi204解：因为的共轭复数是，根据复数相等的定义，可得i204i204.2023,4222xxxx6323xxxx或或解得所以．3x课外练习:i347.在复数集C内，你能将分解因式吗？xy221.计算:(1+2i)22.计算(i-2)(1-2i)(3+4i)-20+15i作业:自由安排3.计算i3(1)4.若zC且zi(3)1,则z_____.5.已知mR且miR3(),则m_____.6.已知zi1322,求zzz322339的值.-2+2i-3-i338(x+yi)(x-yi)例1设，求证：（1）；（2）i2321012.13证明：（1）22)2321()2321(11ii;04323412321ii22)23(23212)21(2321iii（2）33)2321(i)2321()2321(2ii)2321)(2321(ii22)23()21(i14341。两个虚数的差还是虚数虚数两个纯虚数的差还是纯。的共轭复数是纯虚数互为共轭复数、是实数，则如果、下列命题中正确的是例)4()3(ZZ)2(ZZZZ)1(32121(2)互为共轭复数。与则若互为共轭复数。与则若互为共轭复数。与则若互为共轭复数。与则若为：、下列命题中的真命题例2121212121212121ZZ,0ZZ)D(ZZ,0ZZ)C(ZZ,0ZZ)B(ZZ,0ZZ)A(4D