复数

复数的概念复数的引入在有理数集下解方程：x2=209:59计数的需要自然数（正整数与零）表示相反意义的量解方程x+3=1整数测量、分配中的等分解方程3x=5有理数度量的需要解方程x2=2实数解方程x2=－1NZQR09:59x2=2x2=-1规定：2(2)2规定：i2=-12可以与其它数进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立.i可以与实数进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立.1、虚数单位：引入新数i，叫做虚数单位，规定（1）i2=-1，即i是-1的一个平方根这样方程x2=-1的解为i，-1的平方根为i。复数的概念※不可写为“1”，“”仅适用于非负数开偶次方根，实数开奇次方根。（2）i能与实数进行四则运算。09:591、定义:形如a+bi（a∈R，b∈R）的数叫复数,其中i叫虚数单位。2、把数集{a+bi|a,b∈R},称为复数集，用字母C表示，即C={a+bi|a,b∈R}.a+bi实部虚部都是实数b=0时，b≠0时，为实数为虚数且a=0,则为纯虚数复数a+bi(a,b∈R)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位.全体复数所成的集合叫做复数集.复数的概念（2）分类：复数的全体用C表示，即：,,CzzabiabR，显然有：RC。数数实数数数无数无环数纯虚数虚数纯虚数整有理(b=0)分复a+bi理(限不循小)(a,bR)(a=0)(b≠0)非(a≠0)复数的概念设(zabiaR、b)，则①z为实数0b②z为虚数0b③0z0a且b=0④z为纯虚数0a且b0复数的概念注意分清复数分类中的界限：3、两个复数相等：如果两个复数1,zabiabR和2,zcdicdR的实部和虚部分别相等，即：,acbd，那么这两个复数相等，记作：abicdi注：（1）00zab；（2）两个实数可以比较大小，但两个复数若不全为实数，则不能比较大小。例１、指出下列复数是实数还是虚数，对于虚数，它们的实部和虚部分别是什么？10.5203252iii、、、、、例2、当m为何实数时，复数2221zmmmi是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）0？例3、当m为何值时，设2212(1024)4mmzmmim(Rm)则z是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）0？例4、已知223xyiyi，其中xyR、，求x与y。例5、已知Ryxixyiyx、，其中524)(，求x与y。复数的坐标表示xo1你能否找到用来表示复数的几何模型吗？实数可以用数轴上的点来表示。一一对应规定了正方向，直线数轴原点，单位长度实数数轴上的点(形)(数)(几何模型)复数z=a+bi有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴------实轴y轴------虚轴（数）（形）------复数平面(简称复平面)一一对应z=a+bi09:59复数z=a+bi直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应平面向量OZ一一对应一一对应xyobaZ(a,b)z=a+bi09:59xOz=a+biy（绝对值）复数的模的几何意义:Z(a,b)对应平面向量的模||，即复数z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。OZOZ|z|=22ba复平面说明：①表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0，原点既在实轴上，又在虚轴上；②复数集C中的元素和复平面上所有的点所组成的集合中的元素是一一对应的，(,)zabiZab一一对应；③复数zabi中z的书写是用小写字母，复平面内点(,)Zab中Z的书写是用大写字母．09:59xyO设z=x+yi(x,y∈R)满足|z|=5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？55–5–55||22yxz2522yx图形:以原点为圆心,5为半径的圆上若改为|z|≤5结果如何？09:595xyO设z=x+yi(x,y∈R)满足3|z|5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？55–5–53–3–335322yx25922yx图形:以原点为圆心,半径3至5的圆环内09:59练习:已知复数m=2－3i,若复数z满足不等式|z－m|=1,则z所对应的点的集合是什么图形?以点(2,－3)为圆心,1为半径的圆上09:59复数的运算一、复数的加、减法（1）运算法则：设1zabi，2,,,zcdiabcdR，则：12zzabicdiacbdi12zzabicdiacbdi两个复数的和（差）仍然是复数它的实部是原来两个复数实部的和（差）它的虚部是原来两个复数虚部的和（差）一、复数的加、减法（2）运算性质：设123zzzC、、，有①交换律：1221zzzz；②结合律：123123zzzzzz．09:59xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)z1+z2=OZ1+OZ2=OZ符合向量加法的平行四边形法则.1.复数加法运算及其几何意义?12,,(,,,)zabizcdiabcdR则12()()zzacbdi09:59xoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数z2－z1向量Z1Z2符合向量减法的三角形法则.2.复数减法运算及几何意义?|z1-z2|表示什么?表复平面上两点Z1,Z2的距离21()()zzacbdi例题讲解例1、计算(1)1342ii；（2）56234iii；（3）已知342aibiabi，求实数ab、的值．口答1、求下列各组数的和：（1）1,2i；（2）23,23ii；（3）23,26ii．2、求下列两个复数的差：（1）3(42)i；（2）(43)(45)ii．观察两复数2323ii与之间有什么关系？二、共轭复数（1）定义：实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数，也称互相共轭．记作：z即：若zabi，则(,)zabiabR．二、共轭复数（2）性质：①zz；②2zzRez，2zzImzi；③1212zzzz；④zzzR．二、共轭复数说明：（1）复平面内表示两个共轭复数的点Z与Z关于实轴对称．（2）实数a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数．（3）z是z的共轭复数，z也是z的共轭复数，即zz．例题讲解例2、说出下列复数的共轭复数：（1）3i；（2）32；（3）2i；（4）0；（5）74i．例题讲解例3、下列命题中正确的是．（填写正确命题的序号）（1）如果12zz是实数，则1zz２、互为共轭复数；（2）纯虚数z的共轭复数是z；（3）两个纯虚数的差还是纯虚数；（4）两个虚数的的差还是虚数．(2)三、复平面上两点间的距离设两复数1zabi，2,,,zcdiabcdR分别对应复平面上的点1,Zab、2,Zcd，则：2212zzacbdiacbd．12zz表示两复数分别对应的点1Z、2Z之间的距离．例题讲解例5、（1）求复平面上点A（1，2）和点B（2，1）的距离；（2）求复数2i与43i所对应的两点之间的距离．例题讲解例6、已知复数z满足1z，求复数2z的模的取值范围．解一：设)(Rbabiaz、，由1||z，得122ba，即122ba．abaababiaz454422|2|2222．∵11a，∴123z．解二：数形结合：由条件1z可知，点Z的集合是以0,0为圆心，1为半径的圆，又2z表示点Z到点2,0A的距离，由图形可知，点Z到点2,0A的距离从1逐渐增加到3，即123z．复数的乘法、除法一、复数的乘、除法（1）运算法则：设1zabi，2,,,zcdiabcdR，20z，则：12zzabicdiacbdadbci；12?zabizcdi一、复数的乘、除法（1）运算法则：设1zabi，2,,,zcdiabcdR，20z，则：12zzabicdiacbdadbci；122222abicdizabiacbdbcadizcdicdicdicdcd．一、复数的乘、除法（2）运算性质：设123zzzC、、，则①交换律：1221zzzz；②结合律：123123zzzzzz；③分配律：1231213zzzzzzz．二、复数的乘方（1）定义：复数的乘方运算是指几个相同复数相乘．二、复数的乘方（2）性质：设12zzzC、、，mnN、，则：①mnmnzzz；②nmmmnnzzz；③1212nnnzzzz．三、i的幂运算是以4为周期的性质设nN，则：①41ni；41nii；421ni；43nii；②44142430nnnniiii；③44142431nnnniiii；④212ii；212ii；11iii；11iii．四、共扼复数及模的运算性质①1212zzzz；②1212zzzz；③1122zzzz；④()nnzz．（1）共扼复数运算性质：四、共扼复数及模的运算性质①zz；②1212zzzz；③11222(0)zzzzz；④nnzz；⑤2zzz．（2）复数模的运算性质：例题讲解例1、计算：（1）2342ii；（2）()16i；（3）iiii23100……；（4）23100iiii．例题讲解例2、计算：（1）112ii；（2）21392ii．例题讲解例3、计算：171716161111iiii．例题讲解例4、已知zi1,设zz234，求．例5、已知：113113)64(2,1zzizziz，求z的虚部．例题讲解例6、设nN，求221111nniiii．例题讲解例7、已知：Czz21,，证明：zzzzzz1212122···Re()．课堂小结：一、复数的加、减法二、共轭复数三、复平面上两点间的距离09:59(1)|z－(1+2i)|(2)|z+(1+2i)|已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.点A到点(1,2)的距离点A到点(－1,－2)的距离09:59(3)|z－1|(4)|z+2i|点A到点(1,0)的距离点A到点(0,－2)的距离09:59练习:已知复数m=2－3i,若复数z满足等式|z－m|=1,则z所对应的点的集合是什么图形?以点(2,－3)为圆心,1为半径的圆上09:59复数减法的几何意义的运用设复数z=x+yi,(x,y∈R),在下列条件下求动点Z(x,y)的轨迹.1.|z-2|=12.|z-i|+|z+i|=43.|z-2|=|z+4|09:59xyoZ2ZZZ当|z-z1|=r时,复数z对应的点的轨迹是以Z1对应的点为圆心,半径为r的圆.|z-2|=109:591-1ZZZyxo|z－z1|+|z－z2|=2a|z1－z2|2a|z2－z1|=2a|z2－z1|2a椭圆线段无轨迹|z-i|+|z+i|=409:59yxo2-4x=-1当|z-z1|=|