复数的乘除法-(讲)..

复数加减法的运算法则：1.运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;z1-z2=(a-c)+(b-d)i.即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).2.复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).回顾计算)43()2()65(iiiii11)416()325(复数运算转化为实数的运算你能根据数系扩充过程的基本原则及复数代数形式的加减运算法则，解决下面这个问题吗？问题一?)2()43()21(iii数系扩充原则：数系扩充后，在复数系中规定的加法运算、乘法运算，与原来的实数系中规定的加法运算、乘法运算协调一致：加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。即对任何z1,z2,z3有：z1﹒z2=z2﹒z1;(z1﹒z2)﹒z3=z1﹒(z2﹒z3);z1﹒(z2+z3)=z1﹒z2+z1﹒z3.复数代数形式的加减运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;z1-z2=(a-c)+(b-d)i.类比多项式加减运算一、复数代数形式的的乘法1.复数乘法的运算法则：A.复数的乘法类比多项式的乘法；B.所得的结果中把i2换成-1；C.把实部与虚部分别合并（两个复数的乘积仍为复数）.(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.2.复数乘法的运算律复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.即对任何z1,z2,z3有z1﹒z2=z2﹒z1;(z1﹒z2)﹒z3=z1﹒(z2﹒z3);z1﹒(z2+z3)=z1﹒z2+z1﹒z3.112342.iii例计算.i1520i2i211i2i43i21解22:13434;21.iii例计算.,计算公式也可以用乘法则计算本例可以用复数乘法法分析.法公式相对应的公式指的是与实数系中的乘.25169i43i43i43221解.i21i21ii21i1222实数集R中的完全平方公式、平方差公式、立方和（差）公式在复数集C中仍然成立结论1引申2实数集R中的整数指数幂的运算律在复数集C中也成立zm﹒zn=zm+n;（z1﹒z2)m=z1m﹒z2m;(zm)n=zmn一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个数叫做互为共轭复数。（通常记z的共轭复数为z）虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。.i43,i431称为共轭复数中的两个复数本例1.zz与|z|、|z|有什么关系？2.若z为实数，则z与其共轭复数z什么关系？3.在复平面内，互为共轭复数的两个复数对应的点有怎样的位置关系？探究2：共轭复数有哪些主要性质？答：(1)|z|＝|z|；(2)z·z＝|z|2＝|z|2；(3)z＝z⇔z∈R，z＝－z(z≠0)⇔z为纯虚数；(4)z1＋z2＝z1＋z2；(5)z1·z2＝z1·z2；(6)(z1z2)＝z1z2(z2≠0).z。z求满足(3-4i)×z=1+2i，引例复数二、复数代数形式的除法02222dicidcadbcdcbdacdicbiadicbiai435练习：的共轭复数为。例1计算下列各式．(2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)；(3)(2＋3i)(1－i)(2－i)÷(3＋i)．(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝2(12－3i－4i＋i2)＋(28－4i－21i＋3i2)＝2(11－7i)＋25(1－i)＝47－39i.(3)(2＋3i)(1－i)(2－i)÷(3＋i)．(3)原式＝2－2i＋3i－3i22－i3＋i＝5＋i2－i3＋i＝10－5i＋2i－i23＋i＝11－3i3＋i＝11－3i3－i3＋i3－i＝33－11i－9i＋3i210＝30－20i10＝3－2i.探究1复数的运算顺序与实数的运算顺序是相同的，先进行高级运算(乘方、开方)，再进行次级运算(乘、除)，最后进行低级运算(加、减)．如有i的幂运算，先利用i的幂的周期性将其次数降低，然后再进行四则运算．思考1.(2)(2010·陕西卷，文)复数z＝i1＋i在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】因为z＝i1＋i＝i1－i1＋i1－i＝1＋i1＋1＝12＋12i，所以对应点(12，12)在第一象限．故选A.例2设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，z·z＝8，则zz等于()A．iB．－iC．±1D．±i题型二共轭复数【解析】方法一设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＝x－yi.由z＋z＝4，z·z＝8，得x＋yi＋x－yi＝4，x＋yix－yi＝8⇒x＝2，x2＋y2＝8⇒x＝2，y＝±2.∴zz＝x－yix＋yi＝x2－y2－2xyix2＋y2＝±i.方法二∵z＋z＝4，设z＝2＋bi(b∈R)，又z·z＝|z|2＝8，∴4＋b2＝8.∴b2＝4，∴b＝±2.∴z＝2±2i，z＝2∓2i.∴zz＝±i.探究2涉及共轭复数的题目，要充分利用共轭复数的性质：如z＋z等于z的实部的两倍，z·z＝|z|2等，另外注意复数问题实数化及方程思想的应用．思考题2证明：|z|＝1⇔z＝1z.【证明】设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝1⇔x2＋y2＝1.z＝1z⇔z·z＝1⇔(x＋yi)(x－yi)＝1⇔x2＋y2＝1，∴|z|＝1⇔z＝1z.例3计算下列各题：(1)1＋i71－i＋1－i71＋i－3－4i2＋2i34＋3i；(2)(－32－12i)12＋(2＋2i1－3i)8.题型三复数的乘方【解析】(1)原式＝[(1＋i)2]3·1＋i1－i＋[(1－i)2]3·1－i1＋i－83－4i1＋i21－i3－4ii＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－8·2i1＋ii＝8＋8－16－16i＝－16i.(2)(－32－12i)12＋(2＋2i1－3i)8＝i12·(－12＋32i)12＋1＋i12－32i8＝[(－12＋32i)3]4＋[1＋i2]412－32i[12－32i3]3＝1－(2i)4(12－32i)＝1－8＋83i＝－7＋83i.探究3对于复数运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式要知道其结果，这样起点高，方便计算，达到迅速简捷、少出错的效果．比如(1±i)2＝±2i，1i＝－i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i，a＋bii＝b－ai，(－12±32i)3＝1，(12±32i)3＝－1，等等．思考题3(1)(4－6＋2i)3等于()A．－22iB．2iC．22iD．－2i【解析】(4－6＋2i)3＝[4－6－2i8]3＝－24(3＋i)3＝－24[(3)3＋3×(3)2i＋33i2＋i3]＝－22i.【答案】A(2)i＋i3＋i5＋…＋i33＝()A．iB．－iC．1D．－1【解析】i＋i3＋i5＋…＋i33＝i1－i341－i2＝i.【答案】A(3)当x＝2－i时，1－C110x＋C210x2－…－C910x9＋x10等于()A．－32iB．32C．32iD．－32【解析】原式＝(1－x)10＝(－1＋i)10＝(－2i)5＝－32i.【答案】A(4)已知z2＋z＋1＝0，则1＋z＋z2＋…＋z2012＝________.【答案】0（1）复数的乘法；（2）复数的除法；归纳小结通过本节课的学习，你有哪些收获？1.知识2.思想方法3.能力转化与化归(复数问题实数化）归纳类比创新（3）共轭复数。自主学习.12011,232132）；（）（求证：设i自我反思：x3=1在复数集范围内的解是不是只有x=1，如果不是，你能求出其他的解吗？例4:设1322i,求证:2(1)10,3(2)1