初三数学平面直角坐标系内已知一边取点构造特殊三角形-华东师大版

初三数学平面直角坐标系内已知一边取点构造特殊三角形华东师大版一.本周教学内容：平面直角坐标系内已知一边取点构造特殊三角形二.教学过程：问题：在平面直角坐标系内已知一边（比如线段AB），按要求在坐标系内取一点（比如P），使△PAB为等腰三角形（直角三角形、等腰直角三角形）解题思路：按已知的边在特殊三角形中所“扮演”的角色进行分类讨论，具体如下：（1）当要构造的特殊三角形为等腰三角形时：①如果已知的边AB“扮演”底边，则要作AB的中垂线，点P一定在中垂线上。②如果已知的边AB“扮演”腰，且A为要构造的等腰三角形的顶点，则要以A为圆心，AB长为半径画圆，点P一定在这个圆上。③如果已知的边AB“扮演”腰，且B为要构造的等腰三角形的顶点，则要以B为圆心，AB长为半径画圆，点P一定在这个圆上。（2）当要构造的特殊三角形为直角三角形时：①如果已知的边AB“扮演”斜边，则要以AB为直径画圆，点P一定在这个圆上。②如果已知的边AB“扮演”直角边，且A为直角顶点，则要过A作AB的垂线，点P一定在这条垂线上。③如果已知的边AB“扮演”直角边，且B为直角顶点，则要过B作AB的垂线，点P一定在这条垂线上。例1.如图所示，在直角坐标系中，点A（2，1），在坐标轴上求一点B，使△AOB是等腰三角形，并确定点B的坐标。解：情形1：当OA为△AOB的底边时，作OA的中垂线，和x、y轴分别交于BB12、，如图（1）图（1）∵在Rt△AOC中，OCAC21，∴AO5∵BB21是OA的中垂线∴OE52又∵∠∠OEBOCA190∠∠EOBCOA1∴EBOCA1~∴OEOCOBOA1，即52251OB∴∴（，）OBB1154540同理可得：B2052（，）情形2：当OA为腰且A为顶点时，以A为圆心，AO长为半径画圆，如图（2）图（2）易得：BB344002（，），（，）情形3：当OA为腰且O为顶点时，以O为圆心，AO长为半径画圆，如图（3）图（3）易得：BB565005（，），（，）BB785005（，），（，）例2.已知：在直角坐标系中，点A（10，）和点B（1，2），在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，那么满足这样条件的点P有多少个？（）A.8个B.6个C.4个D.2个解：情形1：当AB为斜边时，作以AB为直径的圆∵（，），（，）AB1012∴在Rt△ABC中，AC＝BC＝2∴∠BAC＝45°∴OD＝1∴ADAB212，即D是AB的中点∴即画以D为圆心，AD长为半径的圆，如图（1）图（1）易得：PPP12301201210（，），（，），（，）情形2：当AB为直角边，且A为直角顶点时，过点A作AB的垂线，如图（2）：图（2）易得：P401（，）情形3：当AB为直角边，且B为直角顶点时，过点B作AB的垂线，如图（3）：图（3）易得：PP563003（，），（，）∴满足这样条件的点P有6个例3.在数学活动课上，老师请同学们在一张长为18cm、宽为14cm的长方形纸板上剪下一个腰长为12cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）。请你画出设计方案的示意图，并通过计算说明哪种情况剪下的等腰三角形的面积最小。解：分三种情况：（1）如图①，当AE＝AF＝12时，SAEAFcmAEF三角形·12722()DCEAFB图①（2）如图②，当AE＝EF＝12时，DFEFDE2222122235SAEDFcmAEF三角形·××121212212352()DFCEAB图②（3）如图③，当AE＝EF＝12时，BFEFBE222212663SAEBFcmAEF三角形·××121212633632()DCAEBF图③比较上述计算可知第（3）种情况剪下的等腰三角形的面积最小。例4.在直角坐标系xOy中，已知点A、B、C的坐标分别为A（20，）、B（1，0）、C（0，23），求：（1）求经过A、B、C三点的二次函数的解析式，并求出顶点D的坐标；（2）在y轴上求一点P，使PAPD最小，求出P点坐标；（3）在第三象限中，是否存在点M，使AC为等腰△ACM的一边，且底角为30°。如果存在，请求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）将（3）题中的“第三象限”改为“坐标平面xOy”，其余条件不变，请直接写出符合条件的点M的坐标（只写结果，不需要解答过程）。解：（1）设二次函数的解析式为yaxx21（a不为0）且过C023，，代入解得：a3∴所求解析式为yxx321即yxxx332331294322∴所求顶点坐标为12943，（2）看图易知A点关于y轴的对称点A'的坐标为（2，0），连接A'D，交y轴于点P，点P为所求。由D和A'的坐标可以求得直线A'D的方程为：yx9103953P点坐标为0953，（3）在第三象限内存在符合条件的点M，如图：ACOAOC22222234设MxyMACCAO11113060，，∵∠，∠∴∠∴∥∴OAMAMOCx111902作MEAC1⊥于E，则AE2∴AMAE130433cos∴，M12433类似可以求得：M2243，（4）在坐标平面上符合条件的点M有6个，它们的坐标分别是：MMMMMM1234562433243600234230233，，，，，，，，，，（答题时间：20分钟）1.已知：如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，M为AB上一点（M不与点A、B重合），MN∥BC交AC于点N。（1）当△AMN的面积是四边形MBCN面积的2倍时，求AM的长；（2）若∠A＝90°，在BC上是否存在点P，使得△MNP为等腰直角三角形？若存在，请求出MN的长；若不存在，请说明理由。ABCMN2.如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线xt，使它与直线yx和直线yx122分别交于点D，E（E在D的上方），且△PDE为等腰直角三角形。若存在，求t的值及点P的坐标；若不存在，请说明原因。yOxyxyx1223.正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，在平面内确定一点P，使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA同时为等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法），并写出它们的坐标（只要写出4个符合题目条件的点的坐标即可，不必写出解答过程）。yAD1-1O1xB-1C[参考答案]解：（1）∵MN∥BC∴△AMN∽△ABC∴SSAMABAMNABC2∵△AMN的面积是四边形MBCN面积的2倍∴SSAMNABC23∴AMAB223∴AMAB63又∵，∴ABAMAB66326（2）∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8∴BCABAC2210BC边上的高ADABACBC·245①当MN是腰，∠PMN＝90°时（如图1），设MP＝MN＝xAMNBPDC图1∵MN∥BC∴△AMN∽△ABC∴xx10245245解得x12037，即MN12037②当MN是腰，∠MNP＝90°时（如图2）AMNBDPC图2同理可得MN12037③当MN是底，∠MPN＝90°时（如图3），设MNxABDPC图3MQN过点P作PQ⊥MN于Q∵，∴PMPNPQMNx1212∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC∴xx1024512245解得x24049，即MN240492.解：据题意可知：直线xt在坐标系内只有如图所示的两种位置情况。yEEDOxDyxyx122x=tx=t情形1：当直线在y轴右侧时，按DE在构造的等腰直角三角形中，所“扮演”的角色，可分为如下三图：（1）当ED为底边时，作ED的中垂线PM1交y轴于P1，M为ED的中点，如图（1）。此时，PDE1已为等腰三角形，如果要它为等腰直角三角形，只要PMEM1即可。yP1Ox图（1）ED为底边yxyx122x=tEDMN∵D是yx与xt的交点∴把xt代入yx，即得yt∴，Dtt同理可得：Ett，122∴∴DEtttEMOEt12232212341又∵PMONt1∴∴∴∴，34147128708711tttOPMNtOEP（2）当ED为腰且E为直角顶点时，作EPy2⊥轴于P2，如图（2）。此时PED2为等腰直角三角形，只要PEED2即可。yP2Ox图（2）ED为腰且E为直角顶点yxyx122x=tED∴∴∴，tttP322450852（3）当ED为腰且D为直角顶点时，同理可求得：P3045，yP3Ox图（3）ED为腰且D为直角顶点yxyx122x=tED情形2：当直线xt在y轴左侧时，同理可分三图，可求得：（1）341tt∴∴（，）tP4004（2）、（3）：322tt∴t4此时，∵，∴tt04不合题意，舍去。综上所述：当t47时，P1087（，）当t45时，PP23085045（，），（，）当t4时，P400（，）3.答：适合条件的点共有9个，其坐标分别为：PP1200310（，），（，），PPPP3456031310031031（，），（，），（，），（，），PPP789310031310（，），（，），（，）