2018届高三数学一轮复习：-第5章-第2节-等差数列及其前n项和

第1页共9页第二节等差数列及其前n项和[考纲传真]1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b2，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋nn－1d2＝na1＋an2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列第2页共9页是等差数列．()(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．()(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于()A．－1B.1C．2D.－2D[依题意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2，故选D.]3．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A．5B.7C．9D.11A[a1＋a3＋a5＝3a3＝3⇒a3＝1，S5＝5a1＋a52＝5a3＝5.]4．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝()A．100B.99C．98D.97C[法一：∵{an}是等差数列，设其公差为d，∴S9＝92(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.又∵a10＝8，∴a1＋4d＝3，a1＋9d＝8，∴a1＝－1，d＝1.∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故选C.法二：∵{an}是等差数列，∴S9＝92(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.在等差数列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差数列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5.第3页共9页故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.故选C.]5．(教材改编)在100以内的正整数中有__________个能被6整除的数．16[由题意知，能被6整除的数构成一个等差数列{an}，则a1＝6，d＝6，得an＝6＋(n－1)6＝6n.由an＝6n≤100，即n≤1646＝1623，则在100以内有16个能被6整除的数．]等差数列的基本运算(1)(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝()A.172B.192C．10D.12(2)(2017·云南省二次统一检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝()A．9B.10C．11D.15(1)B(2)B[(1)∵公差为1，∴S8＝8a1＋8×8－12×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝12，∴a10＝a1＋9d＝12＋9＝192.(2)设等差数列{an}的公差为d，依题意S11＝11a1＋11×11－12d＝22，a4＝a1＋3d＝－12，解得a1＝－33，d＝7，第4页共9页∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.][规律方法]1.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用．2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．[变式训练1](1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是()A.12B.1C．2D.3(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝__________.【导学号：01772176】(1)C(2)－72[(1)∵Sn＝na1＋an2，∴Snn＝a1＋an2，又S33－S22＝1，得a1＋a32－a1＋a22＝1，即a3－a2＝2，∴数列{an}的公差为2.(2)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由已知，得a12＝a1＋11d＝－8，S9＝9a1＋9d×82＝－9，解得a1＝3，d＝－1.∴S16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.]等差数列的判定与证明已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝1an－1(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列．第5页共9页(2)求数列{an}中的通项公式an.[解](1)证明：因为an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，bn＝1an－1.所以n≥2时，bn－bn－1＝1an－1－1an－1－1＝12－1an－1－1－1an－1－1＝an－1an－1－1－1an－1－1＝1.5分又b1＝1a1－1＝－52，所以数列{bn}是以－52为首项，1为公差的等差数列.7分(2)由(1)知，bn＝n－72，9分则an＝1＋1bn＝1＋22n－7.12分[规律方法]1.判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义．[变式训练2](1)若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是()【导学号：01772177】A．公差为3的等差数列B．公差为4的等差数列C．公差为6的等差数列D．公差为9的等差数列(2)已知每项均大于零的数列{an}中，首项a1＝1且前n项和Sn满足SnSn－1－Sn－1Sn＝2SnSn－1(n∈N*且n≥2)，则a61＝__________.(1)C(2)480[(1)∵a2n－1＋2a2n－(a2n－3＋2a2n－2)＝(a2n－1－a2n－3)＋2(a2n－a2n－2)＝2＋2×2＝6，第6页共9页∴{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列．(2)由已知SnSn－1－Sn－1Sn＝2SnSn－1可得，Sn－Sn－1＝2，所以{Sn}是以1为首项，2为公差的等差数列，故Sn＝2n－1，Sn＝(2n－1)2，所以a61＝S61－S60＝1212－1192＝480.]等差数列的性质与最值(1)(2017·东北三省四市一联)如图5­2­1所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a52＝()a41a42a43a51a52a53a61a62a63图5­2­1A．2B.8C．7D.4(2)等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a10，S3＝S11，则当n为多少时，Sn取得最大值．(1)C[法一：第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a41＋a42＋a43＝3a42，同理第二行也有a51＋a52＋a53＝3a52，第三行也有a61＋a62＋a63＝3a62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有a42＋a52＋a62＝3a52，所以a41＋a42＋a43＋a51＋a52＋a53＋a61＋a62＋a63＝3a42＋3a52＋3a62＝3×3a52＝63，所以a52＝7，故选C.法二：由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这9个数均相同，显然满足题意，所以有63÷9＝7，即a52＝7，故选C.](2)法一：由S3＝S11，可得3a1＋3×22d＝11a1＋11×102d，4分即d＝－213a1.7分从而Sn＝d2n2＋a1－d2n＝－a113(n－7)2＋4913a1，因为a10，所以－a1130.9分故当n＝7时，Sn最大.12分第7页共9页法二：由法一可知，d＝－213a1.要使Sn最大，则有an≥0，an＋1≤0，5分即a1＋n－1－213a1≥0，a1＋n－213a1≤0，9分解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大.12分法三：由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，5分故a7＋a8＝0，又由a10，S3＝S11可知d0，9分所以a70，a80，所以当n＝7时，Sn最大.12分[规律方法]1.等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔am－anm－n＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an.2．求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a10，d0时，满足am≥0，am＋1≤0的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a10，d0时，满足am≤0，am＋1≥0的项数m使得Sn取得最小值为Sm.[变式训练3](1)在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示数列{an}的前n项和，则S11＝()A．18B.99第8页共9页C．198D.297(2)已知{an}为等差数列，若a1＋a2＋a3＝5，a7＋a8＋a9＝10，则a19＋a20＋a21＝__________.(1)B(2)20[(1)因为a3＋a9＝27－a6,2a6＝a3＋a9，所以3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝112(a1＋a11)＝11a6＝99.(2)法一：设数列{an}的公差为d，则a7＋a8＋a9＝a1＋6d＋a2＋6d＋a3＋6d＝5＋18d＝10，所以18d＝5，故a19＋a20＋a21＝a7＋12d＋a8＋12d＋a9＋12d＝10＋36d＝20.法二：由等差数列的性质，可知S3，S6－S3，S9－S6，…，S21－S18成等差数列，设此数列公差为D.所以5＋2D＝10，所以D＝52.所以a19＋a20＋a21＝S21－S18＝5＋6D＝5＋15＝20.][思想与方法]1．等差数列的通项公式，前n项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求a1和d.(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….2．等差数列{an}中，an＝an＋b(a，b为常数)，Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，均是关于“n”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图象、性质简化解题过程．3．等差数列的四种判断方法：(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{