波利亚怎样解题实例分析

怎样解题一、熟悉问题1、未知是什么？2、已知是什么？3、你能复述它吗？二、寻找解题方法1、以前做过类似的题吗？可以仿照以前的解题过程写出此题吗？2、与未知已知相关的定理、公式、法则、概念都有什么？这道题是相关的定理、公式、法则、概念的直接应用吗？3、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？4、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？5、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？若不能解题，可考虑：1、已知条件都用上了吗？2、能不能得到一个比较特殊的情况？三、书写过程1、你能按步骤写出你的分析过程吗？2、你所写的步骤都正确吗？四、总结与回顾1、以前做过同类型的题吗？它与同类型的其它题有什么异同？2、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？3、解题过程能简化吗？例1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC求证：∠B=∠C分析：问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：∠B=∠C问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：在三角形ABC中，AB=AC问题3、以前做过类似的题吗？答：似乎没有。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：似乎没有。不能直接用定理解出此题。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：此题条件只有一个，似乎不能直接重新分组。问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：似乎不能。问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？答：1、未知是求∠B=∠C，在以前学过的定理中有根据平行线证角相等、利用角平分线证角相等、利用度数证角相等、利用全等三角形证角相等。由于这些都没有出现，是不是能引入辅助元素？观察∠B、∠C所处的位置，平行线、角平分线都不合适、角的度数没有出现，考虑运用全等三角形来解此题。但此题中∠B、∠C处在同一个三角形中，需要将此两角放入到两个不同的三角形中，需引入一条线将此三角形分成两个三角形，并将∠B、∠C分别处于两个三角形中，可在A点引下一条线与BC相交。2、新问题出现了：如何证明⊿ABD≌⊿ACD？答：已知中含有AB=AC，从图中可得AD=AD，尚缺少一个条件。3、新问题：加入什么条件就可以了？答：∠BAD=∠CAD，可利用角边角进行判定。或BD=CD，可利用边边边进行判定。或AD⊥BC，可利用直角三角形的全等的判定进行判定。4、新问题：如何实现？答：在做线的时候可以利用做图做出其中的某一个条件。如做角A的角平分线，或做BC边上的中线，或做BC的垂线。到此，此题可解。问题8、如何书写过程？答：先写线的做法，然后写全等证明，最后得到未知求证。问题9、解题过程能简化吗？答：尚无更简化方法。问题10、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：此题条件少，没有直接出现三角形，需要构造出三角形求解。可得到一个结论：利用三角形全等证明一个图形中的两角相等进可行的。要求是要将此两角放到两个三角形中，然后找全等的条件。例2、求二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标。问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：二次函数图象的顶点坐标。问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：二次函数解析式y=-3x2-6x+5问题3、以前做过类似的题吗？答：做过。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：能直接运用公式（—ab2，abac442）求解。问题5、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：此类题型主要考查对二次函数的顶点坐标的掌握情况，以及准确的计算能力。例3、已知：如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，D为BC中点，求AD取值范围。问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：求AD的取值范围。问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：在△ABC中，AB=5，AC=3，D为BC中点问题3、以前做过类似的题吗？答：没有。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：我知道三角形三边关系：三角形两边和大于第三边，两边差小于第三边。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：条件中两条边的边长分别是AB、AC，所属三角形为△ABC，而所求AD边长所属是△ACD或△ADC。问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：已知中的边长为AB、AC，要想使用三角形三边关系，需将AB、AC和AD边联合到一个三角形中。考虑：需移动AB或AC并到AC或AB与AD或包含AD的线段构成一角三角形。移动的方法考虑使用全等三角形的方法。延长AD至E，使AD=AE，则可出现△ACD≌△EBD，可得AC=BE，则2AE8,可得1AD4。问题7、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：1、有三角形的中线，可构造全等三角形。2、当条件分散时，可向定理集中。例4、已知：如图，△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，ED∥BC，求证：DE=BE+CD问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：线段DE的长等于EF与FD的和。问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：角平分线BF和CF，平行线DE平行于BC。问题3、以前做过类似的题吗？答：没有。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：角分线定理，平行线性质。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：从图中可得，此题角平分线与平行线有重合部分。问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：根据角平分线性质，可得∠CBF=∠EBF，根据平行线性质可得∠CBF=∠EFB，进而可得∠EFB=∠CBF，可以得到等腰三角形EBF，可得BE=EF。根椐对称原则可得CD=FD。进而此题可解。问题7、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：1、有角平分线和平行线，可得等腰三角形。2、求证线段和可以用分段相等的形式得到结论。例6、已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值。问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：代数式m2+2mn+n2的值。问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根。问题3、以前做过类似的题吗？答：没有。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：不能直接运用公式求解。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：不能。问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：根据方程根的含义可知12+1×m+n=0，进而可得m+n=0。问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？答：根据因式分解的公式可将未知变形为m2+2mn+n2=（m+n）2，即若知m+n的值可得未知。到此，此题可解。例7、如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD，BC的中点，∠BDC=700，cos∠ABD=23，求∠NMP的度数。问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：求∠NMP的度数。问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：AB＝CD，M、N、P分别是AD，BC的中点，∠BDC=700，cos∠ABD=23。问题3、以前做过类似的题吗？答：没有。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：相关的定理有中点现的中位线，由三角函数可求出相应的角的值；不能直接运用公式求解。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：1、由中位线定理可知，AB=2MP；cos∠ABD=23可知∠ABD=300；进而可得∠MPD=300；2、由中位线定理可知DC=2NP；由∠BDC=700，可知∠BPN=700；进而可得∠NPD=1100；进而可得∠MPN=1400；3、由中位线定理和已知AB=CD可知MP=NP；进而可知MP=NP；进而可得∠PMN=∠PNM。综合以上因素，可得∠NMP=∠MNP=200。到此，此题可解。问题5、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：1、利用一切机会将已知重新分组与组合，可得新的结论，将新结论与其它已知相结合可得更新的结论，可能能到达终点。2、有中位线，可寻找相等的线段。例8、如图所示：已知∠xOy＝900，点A，B分别在射线Ox，Oy上移动，∠OAB的内角平分线与∠OBA的外角平分线交于C，求∠ACB的度数。问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：求∠ACB的度数问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：∠xOy＝900，点A，B分别在射线Ox，Oy上移动，∠OAB的内角平分线与∠OBA的外角平分线交于C问题3、以前做过类似的题吗？答：似乎没有。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：三角形内角和定理，三角形外角定理，角平分线定理。不能直接用定理解出此题。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：∠ABO的外角的度数与∠BAO是有关联的，但这中间似乎很乱。清理一下：∠ABO的外角∠ABE在度数上等于（900+∠OAB），则外角的一半∠EDB应等于21（900+∠OAB），而∠ABO应等于（900-∠OAB），则∠ABC应等于二者之和：∠ABC=21（900+∠OAB）+（900-∠OAB）=（1350-21∠OAB）。问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？答：1、未知是求∠ACB的度数，利用三角形内角和定理，将未知转化成求式子1800—∠CBA—∠BAC的度数。2、根据以上所得，则有∠ACB=1800—∠CBA—∠BAC=1800—（1350-21∠OAB）—21∠OAB=450。原题得解。即无论A、B如何运动，只要角平线不改，∠ACB永远等于450。问题8、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：例9、如图，△ABC为正三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD。求证：DB=DE。问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：求证：DB=DE。问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：△ABC为正三角形，BD是中线，CE=CD。问题3、以前做过类似的题吗？问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：等腰三角形性质和判定。不能直接用定理证明。问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：根据已知中△ABC为正三角形，BD是中线可得∠DBC=21∠ABC=21∠ACB。。问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：根据已知中CE=CD，可得∠CED=∠CDE。问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？答：1、未知是求证DB=DE，如何能出现？答：在以前学过的定理中等腰三角形的判断，只要∠DBC=∠CDE即可；2、新问题：与此相关联的角有那些？答：与∠DBC相关联的角是∠ACB，而∠ACB又是△DCE的外角，这似乎可行；3、有新进展吗？答：由三角形外角定理可得∠CED=21∠ACB，进而可得∠DBC=∠CDE。原题得证。问题8、如何书写过程？问题9、解题过程能简化吗？答：尚无更简化方法。问题10、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：1、证同一三角形中的边相等时，可考虑等腰三角形的判定。2、在同一三角形中有等边就有等角。例10．AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF。问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：AD垂直平分EF问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高问题3、以前做过类似的题吗？答：做过。解过有关角平分线性质和线段垂直平分线性质的证明。问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：角平分线定理。垂直平分线定理。不能直接用定理解出此题。问