数字逻辑与集成电路第2章1

第2章逻辑代数及逻辑函数化简2.1逻辑代数的基本运算与公式2.2公式法化简逻辑函数2.3逻辑函数的标准形式2.4图解法(卡诺图)化简（重点）2.5表格法化简(Q-M法)2.6逻辑函数的实现2.1逻辑代数的基本运算与公式逻辑代数：二进制运算的基础。应用代数方法研究逻辑问题。由英国数学家布尔(Boole)和德.摩根于1847年提出，又叫布尔代数，开关代数。逻辑函数的表示：真值表，表达式，逻辑门逻辑函数的生成：逻辑问题的描述，由文字叙述的设计要求，抽象为逻辑表达式的过程。然后才能化简、实现，逻辑设计的第一步。逻辑代数的基本运算：与、或、非(1)“与”运算，逻辑乘(2)“或”运算，逻辑加(3)“非”运算，取反2.1.1逻辑代数的基本运算信息论的创始人香侬(Shannon)在1940年首先建立了用电子线路来实现布尔代数表达式，0，1分别代表电路的开、关状态或高、低电平；命题为真，线路建立连结；命题为假，线路断开连结。1、与运算——所有条例都具备事件才发生，与运算又叫逻辑乘。•开关：“1”闭合，“0”断开；灯：“1”亮，“0”灭•真值表：这里若用1表示开关接通和灯亮、用0表示开关断开和灯暗.则可列出真值表.如图2.1所示。把输入所有可能的组合与输出取值对应列成表。•逻辑表达式：L=A·B(逻辑乘)•逻辑功能口决：有“0”出“0”，全“1”出“1”。2、或运算———至少有一个条件具备，事件就会发生。•开关A与开关B只要有一个接通时，灯L亮，否则暗。输人量A,B与输出量F存在着或逻辑关系。•真值表：•逻辑表达式：L=A+B（逻辑加）•逻辑功能口决：有“1”出“1”，全“0”出“0”3、非运算：—结果与条件相反。某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。基本公式2.1.2逻辑代数的基本公式、规则、附加公式交换律结合律分配律ABBAABBACBACBACBACBA)()()()()()()(CABACBACABACBA2.1.2逻辑代数的基本公式、规则、附加公式基本公式（续）如何验证公式的正确性真值表利用基本定理化简公式例：真值表验证摩根定律1000A＋B1110A＋B1110AB100000011011ABAB________________________BABABABA如何验证公式的正确性真值表利用基本定理化简公式AB+AC+BC=AB+AC(?)（包含律）证明：AB+AC+BC=AB(C+C)+AC(B+B)+BC(A+A)=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=ABC+ABC+ABC+ABC=AB+AC如何验证公式的正确性AB+AC+BC+BCD=AB+AC+BC(1+D)=AB+AC+BC=AB+ACA+B=A+CB=CAB=ACB=C2.（1）在逻辑代数中，常将逻辑函数F叫作原函数，将F叫作F的反函数或补函数。将一个逻辑函数表达式F中的“与”、“或”运算符互换，常量0、1互换，原变量与反变量互换，就可得到F的反函数F。这就是反演规则。利用反演规则求反函数F时，不仅要注意运算的优先顺序，而且还要注意只有单个变量的反变量才变为原变量，而对于多个变量组合后的“非”号不能变反。（1）反演规则即:“”,“+”,“0”,“1”,“原变量”,“反变量”“+”,“”,“1”,“0”,“反变量”,“原变量”（1）反演规则反演规则EDCBAY))((EDCBAYEDCBAYEDCBAY练习（2）对偶规则设F为一个逻辑函数表达式，若将F中的“与”、“或”运算符互换(即·变为+，+变为·)，常量0、1互换(即0变为1，1变为0)，所得到的新表达式就叫做函数F的对偶式如果两个逻辑函数表达式相等，那么它们的对偶式也一定相等。这就是对偶规则。（2）对偶规则即:“”,“+”,“0”,“1”,“变量”“+”,“”,“1”,“0”,不变（2）对偶规则EDCBAY对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如：注意：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。ACABCBA)())((CABABCAABABAABABA)()())((EDCBAYEDCBAYEDCBAY（2）对偶规则（2）对偶规则3.附加公式附加公式13.附加公式3.附加公式附加公式23.附加公式3.附加公式3.附加公式2.1.3基本逻辑公式4.与非门ABFABF真值表F=ABABF001001111110实现“与非”逻辑(NAND——NOT-AND)例：与非门（A、B是输入，F是输出）AFBC5.或非门BAFABF+实现“或非”逻辑(NOR——NOT-OR)真值表ABF001001111000AFBC6.“与或非”门7.异或门8.同或门2.2逻辑函数化简（1）公式化简法（2）图解化简法（3）表格法2.2.1公式法化简逻辑函数逻辑函数化简的目的:省器件！用最少的门实现相同的逻辑功能，每个门的输入也最少。主要掌握与或表达式的化简：(1)乘积的个数最少(用门电路实现，所用与门的个数最少)(2)在满足(1)的条件下，乘积项中的变量最少(与门的输入端最少)最简的目标不同，达到的效果也不同。如果功耗最小或者可靠性最高是目标，化简的结果完全不同！公式化简法：（1）合并乘积项法：利用互补律的公式。与或表达式化简例：ACAAC)BB(CA)BB(AC)CABCBA()CBAABC(CBACABCBAABCCBACAB)CBBC(AF展开：结合：互补律：互补律：（2）吸收项法：利用吸收律和包含律等公式来减少“与”项数。与或表达式化简例：CBACBCBACB)CB(AF反演律:B+C=BC吸收律：A＋AB＝A+B（3）配项法：利用互补律，配在乘积项上，然后在化简。与或表达式化简)()1()1()()()()()()(AADCBCADBABCDDCABDCBADCBADBABCDCDDCABABCDDCBADCBADBCDCCABDDDCBADBCDABDCBADBCDABDCBACBABDCDABDDBCDCBAABCF包含配项展开合并例：与或表达式化简（续）BCDCDBCDCDBCDCBDBCDCDDBCDDCBDBCDF)()(续上页吸收律D+DC＝D＋C分配反演D＋C＝DC吸收律：BABAA与或表达式化简（续）与或表达式化简（续）与或表达式化简（续）与或表达式化简（续）与或表达式化简（续）或与表达式化简公式法练习题CDDACABCCAF简化例：DBDBCBCBCAABF简化例：)(GFADE例：CBBCBAABF1）表达式中与项的个数最少；2）在满足1）的前提下,每个与项中的变量个数最少。CDDACABCCAF简化例：)()(DDACBCCAF)()(DACBCACDACABCACDABCCA)(CDACDB)A(1BABAA解：函数表达式一般化简成与或式，其最简应满足的两个条件：DBDBCBCBCAABF简化例：)(GFADEDBDBCBCBCBAF解：)(GFADE)(GFADEDBDBCBCBADBDBCBCBA)()(CCDBDBCBDDCBADCBDBCDBCBCDBDCBACBDBDCABABAA例：CBBCBAABF)(CBBCBAAB）（反演CBBCAABCCBACBAAB被吸收被吸收CBBBCAAB)(CBCAABCBAABCCCBAAB)()(配项2.2.2逻辑函数的标准形式逻辑函数可以表示为最小项之和的形式（与或表达式）或者最大项之积的形式（或与表达式）应用最多的是最小项之和的形式，也叫最小项标准式。最小项也是卡诺图化简的基础。1.最小项(MinTerm)逻辑函数有n个变量，由它们组成的具有n个变量的乘积项中，每个变量以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次，这个乘积项为最小项。N个变量有2n个最小项。例如：n=3，对A、B、C，有8个最小项ABCBCACBACBACABCBACBACBA最小项(续)对任意最小项，只有一组变量取值使它的值为1，其他取值使该最小项为0为方便起见，将最小项表示为min=3的8个最小项为：ABCmBCAmCBAmCBAmCABmCBAmCBAmCBAm76543210变量的各组取值ABC000100010110001101011111对应的最小项及其编号最小项编号CBACBACBACBACBACBACBACBAom1m2m3m4m5m6m7m例：三变量函数的最小项：编号规则:原变量取1,反变量取0。最小项(续)任何逻辑函数均可表示为唯一的一组最小项之和的形式，称为标准的与或表达式某一最小项不是包含在F的原函数中，就是包含在F的反函数中即n个变量的所有最小项之和恒等于1。所以1120iimn1),,,(),,,(:2121nnAAAfAAAf因1202121),,,(),,,(niinnmAAAfAAAf而=m2+m6+m3+m7注意：变量的顺序.ABCCABBCACBACBAF),,(最小项表达式=m(2,3,6,7)ABCCABBCACBACBAF),,(：例如2）当ji时，0jimm。⑵最小项的性质：1）只有一组取值使mi＝1。3）全部最小项之和等于1，即∑mi＝1。1m0,1,1,33＝时，只有＝例：CBACABm063BCACABmm＝例：1m710ABCBCACBACBACABCBACBACBAmm＝＋＋＋例三变量最小项最小项的性质(续)5）当函数以最小项之和形式表示时，可很容易列出函数及反函数的真值表（在真值表中，函数所包含的最小项填“1”）。4）n变量的最小项有n个相邻项。一对相邻项之和可以消去一个变量。相邻项：只有一个变量不同（以相反的形式出现）。取反＝取反＝取反＝：项其邻项有＝三变量最小项例C;B;A;)3(:1745CBAmCBAmCBAmCBAm⑶最小项表达式的求法一般表达式：→除非号→去括号→补因子真值表ABBACABF)(:例ABBACBAABBACABABBACAB)()(ABCBABCACABABCCBABCACCABCBABCA)()7,6,5,3(3756mmmmm除非号去括号补因子方法用真值表求最小项表达式例：函数F=AB+ACABCF0001000101100011010111111101其余补00010)6,5,4,1(5461mmmmmF由一般表达式直接写出最小项表达式例：函数F=AB+AC所以:F=∑m(1,4,5,6)。和故含最小项即最小项编号为或可取项中。和故含最小项即最小项编号为或可取项中分析mm,1100:,10BCAmm,1001:,10C:6451BA最小项练习题)7,6,2,1()()(31726mmmmmCBAABCCBABCACBABCAACCBACBABCBAF2.最大项(MaxTerm)n个变量组成的或项，每个变量以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次，则称这个或项为最大项例如：n=3的最大项为CBAMCBAMCBAM