2011年四川高考数学理科19题文科19题试题分析

2011年四川高考数学理科19题文科19题试题分析内江市第二职业中学（邮编641005）吴毅通讯地址：内江市中区白马镇内江市第二职业中学电子信箱[e-mail]联系电话:[phone]摘要：2011年四川高考数学试题，涉及的知识面广，试题的起点低，坡度平缓，整体的难度适中，逐题分层把关，具有良好的区分度。试卷返朴归真回归教材，对基础知识重点考查的同时，也注重突出对数学思想、方法以及数学能力的考查，体现了“多思少算”重视对考生学习潜能的考查，是一套高水平的高考数学试题，有较高的信度和效度。关键词：高考数学试题；数学思想；数学能力；创新。一、真题再现19．（文科）19．（本小题共l2分）如图，在直三棱柱ABC－111CBA中，∠BAC=90°，AB=AC=1AA=1，延长11CA至点P，使PC1＝11CA，连接AP交棱1CC于D．（Ⅰ）求证：1PB∥平面1BDA；（Ⅱ）求二面角A－11DA－B的平面角的余弦值；19．理科如图，在直三棱柱ABC－111CBA中，∠BAC=90°，AB=AC=1AA=1,D是棱1CC上的一点，P是AD的延长线与11CA的延长线的交点，且1PB∥平面BDA．(I)求证：CD=DC1：(II)求二面角A-DA1-B的平面角的余弦值；(Ⅲ)求点C到平面DPB1的距离．二、试题分析及评价1.考查内容：主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力．2.平均分：文科平均分5.733，其中满分卷30.74%，0分卷30.92%；理科平均分6.909，其中满分卷19.31%，0分卷14.34%3.命题背景：以直三棱柱为载体，考查空间线面位置关系、空间角与空间距离的计算、体积的计算等热点内容，考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力．4.试题评价：（1）此题背景熟悉，试题源于教材。知识点覆盖面广，重点考查了线面关系及三垂线定理、角与距离的公式等内容。试题起点低、易入手，由于已知条件中能够找到三条两两互相垂直的直线，传统法和向量法两种方法均适宜解答，此题方法较多，难度适中，有良好区分度。（2）试题（1）问其实文理科为姊妹题。文科：已知D为1CC中点，求证直线DBA||11平面PB；理科：已知直线DBA||11平面PB，求证D为1CC的中点。明显从题设和结论来分析两个命题互为逆命题。如此命题符合文理科学生对立体几何的认知水平，而题设与结论的互换又有能明显增加了理科试题的区分度。（3）2011年理科立体几何试题的后两问是(II)求二面角A-DA1-B的平面角的余弦值；(Ⅲ)求点C到平面DPB1的距离；2010年理科立体几何试题的后两问是（Ⅱ）求二面角MBCB的大小；（Ⅲ）求三棱锥MOBC的体积.本质上2011年的理科立体几何试题只是2010年试题的变式，且难度相当。（4）第2问文理科完全相同，求二面角B-DA-A1的大小.该题使用向量法，方法单一且计算量小，学生的得分率比较高。（5）第3问（求点C到面DPB1的距离。）仅局限理科（因文科只有两问）。传统方法通常采用等积法或作出距离：等积法由于可以把C点到平面DPB1的距离转化为1C到平面的距离DPB1，这样可以选择如下6个不同的锥体。CDPBDPBCVV11ACDBDABCVV11ACPBPABCVV11PCBDDPCBDPBCVVV111111DACBDABCVV1111PACBPABCVV1111经过不同的方法求解出求点C到面DPB1的距离，虽然选择6个不同的锥体，但求解的方法与步骤一样。通过作1C到平面DPB1的距离，计算量虽小，但一般学生的思维难以到位，主要难在于利用三垂线法作与平面DPB1垂直的平面，但极少数的高手采用了这种方法。三、考生在考试中常见错误与问题⑴.基础知识不扎实.①由于基础知识掌握不牢，对立体几何中的公理、定理、概念不熟悉，不能顺利完成第（1）小问的证明;②约有一半的学生采用了向量法。多数学生理解和掌握了把直线与平面平行转化为直线对应向量与平面的法向量互相垂直的基本方法，突出的问题是D点和P点两个相关点之间的关系没有理清楚反映了学生在初中所学平面几何中的平行线分线段成比例(或者三角形相似)等知识的掌握不牢，对三点共线的认识模糊;③不能看出11AB是平面DAA1的法向量，重新求该平面的法向量浪费时间或致误④不能正确求平面DBA1的法向量；（2）证明思维混乱。以理科（1）问为例，传统方法最主要的思路是把线面平行转化为线线平行或面面平行。在阅卷极少发现用第二种方法求解的，而且部分学生推导过程思路混乱、因果关系混淆。从中折射出立体几何在引入向量法后，虽然能把几何问题代数法有一定优点，但从某种程度严重地扼杀了对学生空间想象能力、逻辑推理能力和的培养。（3）计算能力较差。第（2）问文理科完全相同，求二面角B-DA-A1的大小。传统方法是利用11AACCBA平面，根据三垂线定理构造二面角的平面角或使用射影面积公式法。阅卷反映出学生解题方法与方向正确，但因计算能力较差，导致丢分。第（3）问大多数考生理科考生用同第2问一样选择了向量法求解，直接套用公式虽计算量小，主要失分原因仍然是计算能力不过关。（4）解题习惯不太好。①书写习惯不好。书写不规范如直线AD在平面平面DAA1内记作AD∈平面DAA1，点与向量坐标的坐标混淆，有些考生解题过程显得太简单，特别是第（3）问用体积法求点C到面DPB1的距离；②缺少检验习惯。缺少检验关键步骤的习惯而导致失分；③审题出错，如求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值，有些学生误将求二面角A－A1D－B的平面角，少得分；④建立右手坐标系改左手系。建立左手坐标系，与习惯相违而导致计算性错误，建立右手坐标系改左手系降低空间想象力且计算量大。（5）数学思维能力不强。文理科第2解法多样，传统方法一般优于向量法，综合法、面积射影法计算量过大，因选择方法不当，陷入复杂的方法，导致增大计算量而失分，第（2）小问显然公理化法比向量法简单，射影面积法计算量最大；四、教学启示（1）适当匹配传统法与向量法在立体几何教学中的比例，可在一定程度上加强传统方法的训练，在平时训练中注意立体几何思想方法选择，注意综合法与向量法整合，以增强学生的空间想象能力和逻辑推理能力。（2）加强计算能力的培养。虽然通常讲“多想点少算点”，但计算能力是数学知识运用最基本的能力，特别注意运算的合理性与运算关键步骤的选择等，在高考中因计算错误导致的失误占了较大的比例，如虽然理科试题难度并不大，但满分的比例不到20%，其中因计算错误引发的失分非常严重。（3）夯实三基，注意立体几何知识的形成生发过程和知识结构，提升能力。如空间向量能有效解决立体几何问题，不只是局限于了解法向量的求解和角与距离的公式，而让学生真正把握向量运用的基本原理，才能灵活运用不同方法解决遇到的各类问题。（4）复习时不要以为一步到位，应螺旋式上升。五、优秀解法欣赏下面我们欣赏一下2011年高考试卷理科（1）问的解法：以1A为原点，AACAB11111,,A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系ACB111A,则)0,0,0(A1，)0,0,1(B1,)1,0,1(),0,1,0(C1B,设D点坐标为),1,0(x，则P点的坐标为)0,11,0(xPDB||11面PBDABAPB111又),1,0(DA)1,0,1(BA)0,x-11,1-(PB111x，则有x0x-111-解得21xDCCD1该考生解答过程简洁利落，可以看出学生对向量知识掌握极其灵活，能巧妙运用所学知识解决问题的能力。