拉普拉斯变换在常微分方程中的应用

毕业论文题目：拉普拉斯变换在常微分方程中的应用姓名：古丽吉米来木.阿布迪尼亚孜专业：数学与应用数学班级：2004-5班院（系）：数理信息学院指导教师：肖开提.卡德尔新疆师范大学信息隐藏与数字水印技术新疆师范大学数理信息学院2009届数学与应用数学专业毕业论文1拉普拉斯变换在常微分方程中的应用新疆师范大学数理信息学院数学04-5班作者姓名：古丽吉米来木.阿布迪尼亚孜指导教师：肖开提.卡德尔2009年5月14日新疆师范大学数理信息学院2009届数学与应用数学专业毕业论文2拉普拉斯变换在常微分方程中的应用古丽吉米来木.阿布迪尼亚孜新疆师范大学数理信息学院数学04-5班摘要：本论文首先讨论了拉普拉斯变换的概念，详细地阐述了拉普拉斯变换的基本性质，利用拉普拉斯变换的基本性质，导出常系数线性微分方程初值问题的求解方法，并解决有关的实际问题。关键词：拉普拉斯变换;拉普拉斯变换性质;拉普拉斯逆变换新疆师范大学数理信息学院2009届数学与应用数学专业毕业论文3拉普拉斯变换在常微分方程中的应用1、拉普拉斯变换的定义定义1设函数)(xf在区间,0上有定义，如果含参变量S的无穷积分dttfest0)(对S的某一取值范围是收敛的.则称)(sFdttfest0)(1为函数的拉普拉斯变换，)(tf称为原函数，)(sF称为象函数，并记为)]([tfL)(sF.我们引进拉普拉斯变换的目的，主要在于直接计算初值问题的解。从定义出发，直接可算出一些特殊函数的拉普拉斯变换.例如]1[Ldtest0=s1，][tLdttest0=21s，][2teLdteetst02=21s，][sintLdttest0sin=s1stdet0sin=22s.定理1如果函数)(tf满足以下两个条件：（1）)(tf在,0内逐段连续（2）存在数0,0M,使得tMetf)(，则对于s，拉普拉斯变换)(sFdttfest0)(是存在的.证:当s时，有sMdteMdttfedttfesstst0)(00)()(.2、拉普拉斯变换的基本性质和证明为了利用拉普拉斯变换求解初值问题，我们还要证明以下几个性质.定理2（线性性质）设函数满足定理1的条件，则在它们象函数定义域的新疆师范大学数理信息学院2009届数学与应用数学专业毕业论文4共同部分上有)]([)]([)]()([tgLtfLtgtfL其中和是常数.证明：)]()([tgtfLdttgtfest)]()([0dttfest0)(dttgest0)(dttfest0)(+dttgest0)()]([)]([tgLtfL.例1求][sin2tL.解：由于tt2cos2121sin2；故有][sin2tL=)]2cos1(21[tL根据定理2，有)]2cos1(21[tL])2[cos]1[(21tLL]1[Ls1，224]2[cossstL，从而][sin2tL=)4(22122sss)4(2222ss.定理3（原函数的微分性质）如果)(,),(),()(tftftfn均满足定理1的条件，则)0()]([)]([ftfsLtfL或更一般地有)0()0()0()]([)]([)1(21)(nnnnnffsfstfLstfL用数学归纳法证明.当1n时有)]([tfL=dttfest0)()(0tdfest0)(tfestdttfesst0)(=)0()]([ftfsL.设kn时,有)0()0()0()]([)]([)1(21)(kkkkkffsfstfLstfL.当1kn时，有新疆师范大学数理信息学院2009届数学与应用数学专业毕业论文5)0()]([]))([()]([)()()()1(kkkkftfsLtfLtfL=)0()]0()0()]([[)()1(1kkkkfffstfLss)0()0()]([)(1kkkffstLfs.例2证明22][cossstL(0s).证明：由于ttfcos)(，故有ttfsin)(,ttfcos)(2,0)0(f,2)0(f,取2n，得到)0()0()]([)]([2fsftfLstfLstfLs)]([2，因此]cos[2tLstLs][cos2故有22][cossstL(0s).定理4（象函数的微分性质）如果)]([tfL)(sF，则)(sF)]([)(0ttfLdttftest.或更一般地，有)()(sFn)]([)1()()1(0tftLdttfetnnstnn.证明：用数学归纳法证明.当1n时，)(sFdttfesdttfedsdstst))(()(00=)]([)(0ttfLdttftest.当kn时，对一切正整数n，等式都成立，即)()(sFk)]([)1()()1(0tftLdttfetkkstkk.当1kn时，有)()1(sFndttfetsdttftedsdstkkstk))(()1()()1(00=)1()1(k)]([)1()(1101tftLdttfetkkstk.新疆师范大学数理信息学院2009届数学与应用数学专业毕业论文6例3求函数tkettf)(的拉普拉斯变换.解：根据定理4，有1)(!)1()1(][knnktksksdsdetL,)(s.定理5如果)]([tfL)(sF，则)()]([sFtfeLt.证明：根据定义，有)]([tfeLtdttfedttfeetsstt)()()(0)(sF.例4证明22)(]sin[steLt.证明：由定理5，有)(]sin[sFteLt，利用定理4，有22][sin)(stLsF，于是22)(]sin[steLt.类似的，有22)(]cos[ssteLt.为了使用方便起见，现将在求解常系数线性微分方程的初值问题时，经常碰到的拉普拉斯变换列成下表1.3、拉普拉斯变换在常微分方程的应用首先介绍拉普拉斯逆变换，然后用拉普拉斯变换将常微分方程化为代数方程，求代数方程的解，最后通过拉普拉斯逆变换求解常系数线性微分方程的解。定义2令)]([)(1sFLtf，使得)()]([sFtfL则称)(tf是)(sF的逆变换.例5求]841[21ssL.新疆师范大学数理信息学院2009届数学与应用数学专业毕业论文7解：]841[21ssL]4)2(1[21sL121Ltest2sin21]4)2(2[22.下面我们解释利用拉普拉斯变换求解常系数线性微分方程的解法.设n阶常系数线性微分方程的初值问题为)()2(2)1(1)(xryayayaynnnn（2）1)1(10)0(,,)0(,)0(nnmymymy（3）对（2）两边进行拉普拉斯变换，并利用定理2得到)]([][][][][)2(2)1(1)(xrLyLayLayLayLnnnn（4）由定理3，有)0(,,)0()0(][][)1(21)(nnnnnyysysyLsyL=12110][nnnnmsmsmyLs（5）231201)1(][][nnnnnmsmsmyLsyL0][][mysLyL令)(][sYyL，)()]([sRxrL，将（5）代入（4），得到)()(12211sYasasasasnnnnn)()()(101312112110sRmaasasmasasmnnnnnnn（6）由代数方程（6）解出)(sY，于是该初值问题的解为)]([)(1sYLxy.下面举几个用这种方法解方程的例子.例6求方程texx2满足初值问题0)0(x的解.解：对方程两边施行拉普拉斯变换，得到方程的解的象函数所应满足的方程21)()0()(ssxxssx，由此得到1121)(sssx.新疆师范大学数理信息学院2009届数学与应用数学专业毕业论文8直接查拉普拉斯变换表，可得21s和11s的原函数分别为te2和te，因此)(sx的原函数为tteetx2)(，这就是所要求的解.例7求方程133xxxx的满足初值问题条件0)0()0()0(xxx的解.解：对方程两边施行拉普拉斯变换，得到方程的解的象函数所应满足的方程ssxsss1)()133(23，由此得到3)1(1)(sssx，把上式右边分解成部分分式323)1(1)1(1111)1(1ssssss，对上式右边各项分别求出（查表）其原函数，则它们的和就是)(sx的原函数)22(211)(2tttxte，这就是所要求的解.例8求解方程nxmxatbxax)0(,)0(,sin2，其中ba,是非零常数.解：对方程两边施行拉普拉斯变换，得到2222)()(asabsxanmssxs，可得2222222)()(asnasmsasabsx.把上式右边第一项分解为部分分式])(1[2)(2222222222asasasabasab，于是22222222222])(1[2)(asnasmsasasasabsx新疆师范大学数理信息学院2009届数学与应用数学专业毕业论文9222222222222])([2asaanasmsasasaasaab由拉普拉斯变换表可得atanatmatatatabtxsincos)cos(sin2)(2，这就是所要求的解.参考文献：[1]东北师范大学微分方程教研室，常微分方程，第二版，高等教育出版社，2005[2]包雪松，常微分方程，南京大学出版社，1993[3]王涛松，常微分方程，高等教育出版社