2.1-2.3菲涅耳公式讲解

第2章光波在介质界面上的反射和折射(Thereflectionandrefractionoflightwaveintheinterfaceofmedium)由光的电磁理论可知，光在介质界面上的反射和折射，实质上是光与介质相互作用的结果，因而进行一般的理论分析非常复杂。在这里，采用简化的处理方法，不考虑光与介质的微观作用，只根据麦克斯韦方程组和电磁场的边界条件进行讨论。2.1反射定律和折射定律(Reflectionlawandrefractionlaw))(0i,r,t(119)lltkrillEEel－－现假设二介质为均匀、透明、各向同性，分界面为无穷大的平面，入射、反射和折射光均为平面光波，其电场表示式为式中，脚标i，r，t分别代表入射光、反射光和折射光。12kiktkrOnz界面irtxrixjyr是界面上任意点的矢径，在上图所示的坐标情况下，有根据电磁场的边界条件，可得irtirit(120)()0(121)()0(122)kkrkkr①入射光、反射光和折射光具有相同的频率；②入射光、反射光和折射光均在入射面内，ki、kr和kt波矢关系如图所示。2.1反射定律和折射定律(Reflectionlawandrefractionlaw)iiiirrrrttttexpitexpitexpitEAkrEAkrEAkr反射定律和折射定律（三种光传播方向的关系）)(0i,r,t(119)lltkrillEEel－－代入边值关系，该式总是成立，故irtnEEnEirtirit()0()0kkrkkr进一步，根据图所示的几何关系，可得可由（121）式和（122）式得到iiriittsinsin(123)sinsin(124)rkkkk又因为，可将上二式改写为iiriittsinsin(125)sinsin(126)rnnnn/knc这就是介质界面上的反射定律和折射定律。BACn1n2Okrkikt分界面tir2.1反射定律和折射定律(Reflectionlawandrefractionlaw)2.2菲涅耳公式(Fresnelformula)光的电磁理论除了给出描述光在界面上传播方向的反射定律和折射定律外，还给出入射光、反射光和折射光之间的振幅、相位关系。光在介质界面上的反射和折射特性与电矢量E的振动方向密切相关。由于平面光波的横波特性，电矢量E可在垂直传播方向的平面内任意方向上振动，而它总可以分解成垂直于入射面（光线与法线形成入射面）振动的分量和平行于入射面振动的分量，一旦这两个分量的反射、折射持性确定，则任意方向上振动的光的反射、折射特性也即确定。菲涅耳公式就是确定这两个振动分量反射、折射特性的定量关系式。1.s分量和p分量通常把垂直于入射面（通过入射光和界面法线方向的平面）振动的分量叫做s分量，把平行于入射面振动的分量叫做p分量。为讨论方便起见，规定s分量和p分量的正方向如图所示。ktkrkiO212ErsErpErsErpErpErsn1n21.s分量和p分量xyzo1pE1sH1pE1sH2pE2sH2.反射系数和透射系数假设介质中的电场矢量为)i(0i,r,tlltkrllEEel－－（127）其s分量和p分量表示式为)i(0s,plltkrlmlmEEem－－（128）则定义s分量、p分量的反射系数、透射系数分别为0000rmmimtmmimErEEtE（129）（130）3.菲涅耳公式假设界面上的入射光、反射光和折射光同相位，根据电磁场的边界条件及s分量、P分量的正方向规定，可得isrstsEEE（131）ip1rp1tp2coscoscosHHH（132）和利用，上式变为HEisrs11ts22)coscosEEnEn（（133）再利用折射定律，并由（131）式和（133）式消去Ets，经整理可得rs21is21sin(sin(EE））12s12sin(134sin(r）=-（））将（128）式代入上式，利用（121）式关系，并根据反射系数定义，得到由（134）式和（133）式消去Ers，经运算整理得11s11222cos135coscosntnn=-（）3.菲涅耳公式isrstsHHH（2）ip1rp1tp2coscoscos(1)EEE00(3)rrHEHE且透明介质有1r因此上面（2）式可变为由边界条件,各切向分量之间关系可表示为根据010102iprptp000rrrEEE即1ip1rp2tprrrEEE1ip1rp2tp(3)nEnEnE联立(1)和(3),并代入1122sinsinnn得p分量振幅反射比:rp12pip12()()EtgrEtg振幅透射比:ip1rp1tp2coscoscos(1)EEE21p12122sincossin()cos()tpipEtE(134)式和(135)式就是s分量的反射系数和透射系数表示式。利用类似方法，可以推出p分量的反射系数和透射系数表示式，这就是著名的菲涅耳公式：1211221211221211121122sin()coscos=(136)sin()coscos2cossin2cos=(137)sin()coscosssnnrnnntnn122112122112211112122112()coscos=(138)()coscos2sincos2cos=(139)sin()cos()coscospptgnnrtgnnntnn3.菲涅耳公式于是，如果已知界面两侧的折射率n1、n2和入射角1，就可由折射定律确定折射角2，进而可由上面的菲涅耳公式求出反射系数和透射系数。下图绘出了在、n1n2和n1n2两种情况下，反射系数、透射系数随入射角1的变化曲线。3.菲涅耳公式10306090-1.0-0.500.51.0tptsrprsB56.3n1=1.0,n2=1.510306090-1.0-0.500.51.0rprsB33.7n1=1.5,n2=1.0C41.8010203040500.00.40.81.21.62.02.42.83.2rsrptstp3.菲涅耳公式2.3反射率和透射率(Reflectivityandtransmissivity)如图所示，若有一个平面光波以入射角1斜入射介质分界面，平面光波的强度为Ii，则每秒入射到界面上单位面积的能量为菲涅耳公式给出了入射光、反射光和折射光之间的场振幅和相位关系（有关相位关系在后面还将深入讨论），现在，进一步讨论反映它们之间能量关系的反射率和透射率。在讨论过程中，不计吸收、散射等能量损耗，因此，入射光能量在反射光和折射光中重新分配，而总能量保持不变。ii1cosWI考虑到光强表示式，上式可写成21i0i101cos140)2WE（类似地，反射光和折射光的能量表示式为21r0r101cos141)2WE（22t0t201cos142)2WE（1IE200（17）22.3反射率和透射率(Reflectivityandtransmissivity)由此可以得到反射率、透射率分别为2riWRrW2t22i11coscosWnTtWn将菲涅耳公式代入，即可得到入射光中s分量和p分量的反射率和透射率的表示式分别为2.3反射率和透射率(Reflectivityandtransmissivity)2212ss212sin()(145)sin()Rr2212pp212tan()(146)tan()Rr22212ss21112cossin2sin2(147)cossin()nTtn22212pp22111212cossin2sin2(148)cossin()cos(nTtn）2.3反射率和透射率(Reflectivityandtransmissivity)由上述关系式，显然有1ssRT1ppRT综上所述，光在界面上的反射、透射特性由三个因素决定:入射光的偏振态，入射角，界面两侧介质的折射率。下图给出了按光学玻璃(n＝1.52)和空气界面计算得到的反射率R随入射角1变化的关系曲线。2.3反射率和透射率(Reflectivityandtransmissivity)10900%50%100%RpRsRnn1n2RB10900%50%100%RpRsn1n2RBC2.3反射率和透射率(Reflectivityandtransmissivity)从上图可看出：①一般情况下，，即反射率与偏振状态有关。在小角度（正入射）和大角度（掠入射）情况下，。在正入射时，spRRspRR221sp21(149)nnRRnn相应有21sp2214(150)nnTTnn（）在掠入射()时，。spRR10s902.3反射率和透射率(Reflectivityandtransmissivity)当光以某一持定角度1=B入射时，Rs和Rp相差最大，且Rp=0，在反射光中不存在p分量。10900%50%100%RpRsRnn1n2RB10900%50%100%RpRsn1n2RBC2.3反射率和透射率(Reflectivityandtransmissivity)此时，根据菲涅耳公式有B+2=900，即该入射角与相应的折射角互为余角。利用衍射定律，可得该特定角度满足2B1tan(151)nn该角B称为布儒斯特角。例如，当光由空气射向玻璃时，n1=1，n2=1.52，布儒斯特角为B=56040。2.3反射率和透射率(Reflectivityandtransmissivity)②反射率R随入射角l变化的趋势是：1B时，R数值小，由Rs=RP=4.3％缓慢地变化;lB时，R随着l的增大急剧上升，到达Rs=RP=1。10900%50%100%RpRsRnn1n2RB10900%50%100%RpRsn1n2RBC2.3反射率和透射率(Reflectivityandtransmissivity)②反射率R随入射角l变化的趋势是：但是，对于光由光密介质射向光疏介质（n1n2）和光由光疏介质射向光密介质（n1n2）两种不同情况的反射规律有一个重大差别：当n1n2时，存在一个临界角c，当lc时光波发生全反射。由折射定律，相应于临界角时的折射角2=900，因此有2c1sin(152)nn10900%50%100%RpRsn1n2RBC例如，当光由玻璃射向空气时，临界角为4l08。对于nln2的情况，不存在全反射现象。10900%50%100%RpRsRnn1n2RB2.3反射率和透射率(Reflectivityandtransmissivity)下图给出了在n1=1的情况下，光正入射介质时，介质反射率R随其折射率n的变化曲线。可以看出，在一定范围内，R与n几乎是线性关系，当n大到一定程度时，R的上升就变得很缓慢了。③反射率与界面两侧介质的折射率有关nR00.20.4135例如：正入射时，普通玻璃(n=1.5)的反射率为4％；红宝石(n=1.769)的反射率为7.7％；而对红外透明的锗片，n=4，其反射率高达36%，一次反射就几乎要损失近40%的光。③反射率与界面两侧介质的折射率有关