小学数学核心素养与数学思想方法(20171020长春)

小学数学核心素养与数学思想方法20171020长春王永春中国学生发展核心素养学生发展核心素养，主要指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。研究学生发展核心素养是落实立德树人根本任务的一项重要举措，也是适应世界教育改革发展趋势、提升我国教育国际竞争力的迫切需要。中国学生发展核心素养，以科学性、时代性和民族性为基本原则，以培养“全面发展的人”为核心，分为文化基础、自主发展、社会参与三个方面。综合表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新六大素养，具体细化为国家认同等十八个基本要点。根据这一总体框架，可针对学生年龄特点进一步提出各学段学生的具体表现要求。社会参与自主发展文化基础全面发展的人学会学习健康生活人文底蕴科学精神责任担当实践创新中国学生发展核心素养体系（一）高中数学核心素养数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐步形成的。数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力。高中阶段数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个有机整体。实际上就是指向现实世界的数学核心思想和能力2020/2/27高中数学核心素养与课程目标（二）课程目标通过高中数学课程的学习，获得进一步学习以及未来发展必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”）；提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”）；学会用数学眼光观察世界，发展数学抽象和直观想象素养；学会用数学思维分析世界，发展逻辑推理和数学运算素养；学会用数学语言表达世界，发展数学建模和数据分析素养。2020/2/27小学数学核心素养2011版课标：四基：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验四能：发现问题、提出问题、分析问题、解决问题十大核心概念：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识高中数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。主要是核心数学思想，同时强调三会。四基四能三会层层递进，逐步概括，考试以后还发挥现实作用的数学思想我们先从中国学生发展核心素养（如下）开始分析，从中可以发现，如果每个学科都从自己学科内部角度界定本学科核心素养，那么各学科核心素养主要集中在文化修习这个维度，其他两个维度中的责任担当、学会学习、健康生活的一部分等，可能会成为少人问津的真空地带，即各学科核心素养的交集为0（如下左图）。也就是说，各学科在制定本学科的核心素养时，不能完全从学科本位的角度考虑、不能只扫门前雪，应该站在中国学生发展核心素养的高境界思考问题，即每个学科承担更多的公共责任和义务。这样的学科核心素养才是有境界的、有内涵的、有担当的，否则各学科还有可能重蹈覆辙，在各自的小圈子里搞应试教育。关于学科核心素养的制定，反应了学科教育的一种思想和理念，从世界一些发达国家各学科的核心素养中可以看出他们的理念和丰富内涵。德国数学学科核心素养为：数学证明、数学的解决问题、数学建模、运用数学表达、运用数学符号、公式和技巧、数学交流。美国数学教育强调问题解决、推理与证明、交流、关联、表征。韩国高中数学核心素养为：问题解决、推理、创新·融合、思想沟通、信息处理、态度和实践。从以上几个发达国家的学科核心素养可以发现，交流是各个国家各个学科都特别重视的，超越了学科知识本位的思想局限，没有完全站在学科内部考虑，而是体现了学生总体的核心素养。综上所述，中国学生的各学科核心素养应该站在中国学生发展核心素养的时代高度考虑，具有大局观念、大视野，即各学科核心素养的交集才会尽可能地大（见上右图），或者最大公约数尽可能地大，这样中国学生发展核心素养才会全面落实。据此我们认为，小学数学核心素养是在理解数学核心概念、掌握和运用数学规律和关系的基础上形成的，具有可持续学习数学和交流、表达、解决现实世界实际问题的思想和能力。根据小学生的年龄和认知特点、教师对核心素养的理解及教学的可行性，把数学核心素养直接提炼成数学思想对于学生和教师而言，落实起来是有难度的，因此在四基、四能、十大核心概念和高中数学核心素养的基础上，我们从数学认知、思想能力、个人发展三个维度构建小学数学核心素养思想能力个人发展核心素养从哪里来？数学认知具有数学素养的人思考自学合作交流创新实践数学概念数学规律数学关系数学抽象运算推理数学模型直观想象数据分析转化思想核心素养到哪里去？核心素养的外在表现核心素养怎么形成？既是途径手段又是目标核心素养内涵是什么？小学数学核心素养体系数学认知水平：了解、理解、掌握、运用（只见树木、不见森林）分析与综合评价、创造(数学课程标准没有高级认知目标)数学概念：概念是关系、规律、思想方法的基础。有研究表明：对数学概念的表征水平与数学成绩呈正相关。表征（representation）是信息在头脑中的呈现方式。也可以用“表示”，更容易理解。数学认知数学教学：传统的数学教育重视思维训练，那么，数学思维与数学思想方法的关系是什么？哲学：认识的过程：感性理性，实践理论实践心理学：认知过程：感觉知觉注意记忆思维想象思维的过程：分析、综合、抽象、概括、比较、分类、系统化思维的形式：概念、判断、推理思维的分类：直观动作思维、具体形象思维、抽象逻辑思维形式逻辑、辩证逻辑而现在提倡数学思想方法，不仅包括传统的数学思维，还包括解决问题的建模思想，用数据说话的统计思想、随机思想，加强几何直观的数形结合思想，等等。训练数学思维培养数学思想方法（核心素养）数学思想方法的教学不但可以起到培养思维能力的作用，还可以提高解决问题的能力。因为仅就数学的三个基本思想而言，如抽象思想、推理思想、模型思想，就已经包括了思维能力和解决问题能力的培养。因此，搞好数学思想方法的教学，有可能减轻学生课外学习的负担。在2015年1月25日小学数学换届会议上，教育部课程发展中心的田慧生主任指出：要构建学科核心素养，学科内部纵向整合，梳理核心思想、重点问题，整体把握学科本质。多元表征是加强学生理解知识的有效方式。有研究表明，高中生对数学概念的表征（理解）水平，多数通过具体例子、画图（像）和描述性语言表征，如单调增函数的概念，有52.63%的学生通过画函数图像、28.42%的学生通过描述性语言表征；只有3.16%的学生能够用定义表征。说明很多优秀的学生也经常用直观的方式（概念意象、表象）表示概念。高中学生数学成绩与数学概念表征水平（单个表征的层次水平和多元表征水平）有显著正相关，相关系数为0.52.初三学生数学成绩与数学概念表征水平相关系数是0.637.为了提高数学成绩，要坚强多元表征，同时要适时抽象。直观与抽象形影不离。当然，抽象的定义不能直接灌输给学生，而是由学生自己经历建构概念的过程。概念意象（表象）与概念定义都重要，但是基于很多优秀的学生也经常用直观的方式（概念意象、表象）表示概念。所以不必让学生死记硬背定义，关键是概念的各种表征方式的关联，以及概念的运用。数学规律：性质、法则、定律、公理、定理等，是运算和推理的依据数学关系：模型（公式、数量关系式、方程、函数等）关联（整数、小数、分数（有理数）、无理数，图形之间的关系，数与形数学与生活、数学与其他学科等）结构化（知识结构、认知结构）为什么数学认知结构是核心素养的基础，而不是数学知识结构？因为数学知识结构是属于数学的，数学认知结构是属于学生的。数学认知学习除法认识了一棵杨树学习分数认识了一棵柳树学习比认识了一棵梧桐树都学习了要看到一片森林！a÷b==a:b(b≠0))0(:bbabababa分数的基本性质类推分式的基本性质蕴含了丰富的思想方法：变中有不变的思想、恒等变形方法、数形结合方法、关联思想（普遍联系）、类比推理方法a÷b==a:b(b≠0)商不变规律分数的基本性质比的基本性质ba分数等价于有理数，小数等价于实数，分数是小数的子集。小学数学总复习，注意结构化、模块化。某九年一贯实验学校打破教材结构，初中数学模块化教学，代数、几何、统计与概率，数形结合，中考数学成绩超过重点中学。有一种观点认为：知识一般可以分为：概念性知识：概念及原理、规律、关系方法性知识：计算、大小比较技能等程序性知识、数学方法价值性知识：数学思想、解决实际问题的工具元认知知识：对以上知识掌握情况的反思单纯教学孤立的概念是没有意义的，认识每个知识点的价值，才有利于理解概念、掌握方法性知识。初步认识小数：概念性知识：小数的内涵：与十进分数、整数的关系方法性知识：整数知识类比到小数，整合统一。价值性知识：小数的价值，可以带量，计量方便，整数不能计量的量，有了小数就方便了，十进制位值制思想。三年级孩子身高大约在什么范围，身高多少是偏矮的？怎么办？元认知知识：反思以上知识掌握情况单纯教学孤立的概念是没有意义的，认识每个知识点的价值，才有利于理解概念、掌握方法性知识。分数与除法：概念性知识：分数与除法的关系方法性知识：除法知识类比到分数。价值性知识：分数的价值，可以带量，任何整数除法可计算，准确表达计算结果、也表示两个量之间的关系（倍可以扩展）。元认知知识：反思以上知识掌握情况单纯教学孤立的概念是没有意义的，认识每个知识点的价值，才有利于理解概念、掌握方法性知识。关于时间的学习，不仅仅是知识技能目标，更深度的是价值性知识，体现了核心素养。每个人的一生如何度过？平均80岁，大约1000个月、3万天，睡眠占1/3，工作占1/6，学习（学生）占1/10.周末作息时间表、周一至周五作息时间表。合理安排时间、高效利用时间数学思想数学概念、关系、规律是数学思想的基础和载体。数学抽象：数量及数量关系、图形及关系的数学属性的提取概括。在数学的教与学的过程中，始终伴随着抽象，但是有意识与无意识地抽象是有区别的，有意识去抽象有利于学生思维的发展。数的抽象，数系（知识结构）的扩充，规律、关系等借助直观等手段不断抽象。数和图形的抽象，包括数的十进位值制计数原理，是数感的基础；包括符号意识。学生在例1时还不知道为什么把十根捆起来，到例3时就初步知道了：十进制、位值。11111.111110000+1000+100+10+1+0.1+0.01+0.001+0.0001从左向右，单位越来越小，相邻两个单位10倍关系这样就把整数与小数统一起来，小数的计算就可以通过类比达到算理算法迁移的目的。0.72×5=72（个0.01）×5=360（个0.01）=3.6如何体现代数思维？（含有变量和符号的代数式的抽象性对部分初中一年级学生带来困难）加强用字母表示数量及数量关系。符号思想是模型思想、方程思想、函数思想、推理思想的基础。有利于从本质上理解和应用数学。数学思想运算推理：计算是具体的推理，推理是抽象的计算。9+2=9+1+1=10+1=11是一个运用整数的意义推理的过程。十进位值制每个数位上最大数字是9，9+2的和是十几，是一个两位数，11根小棒中拿出10根捆成一捆，凑成十。对口算、估算及笔算的掌握，是小学数学基本技能的核心。运算能力包括数感。12×3=(10+2)×3=10×3+2×3=30+6横式与竖式意义相同，只是书写形式不同。为什么要引入竖式呢？就是因为数据大了，不能直接口算，要把计算的每一步记录下来，竖式最方便。根据质量监测结果，我国学生笔算乘法正确率为76%，实际上这76%的学生有多少理解算理？具有思维和思想方法的高度？具有到初中可持续发展的能力？我们要追求具有核心素养(理解算理、算法类比与转化)的计算技能和正确率，这是数学。不理解算理的计算只能是算术！小学六年学了太多的算术！有家长问：为什么小学数学经常考100分，到初中只考80分？案例3：如下左图，两条直线相交形成4个角，你能说明∠2=∠4吗？分析：此题在初中要根据“同角的补角相等”来证明对顶角相等。那么，在小学阶段，如何根据已有知识进行简单的证明呢？我们已经知道平角等于180度，再根据等量代换等知识就可以证