复变函数积分与级数习题课

复变函数积分与级数习题课一、复积分重点与难点重点：难点：1.复积分的基本定理；2.柯西积分公式与高阶导数公式复合闭路定理与复积分的计算（1）.积分的定义1、复积分基本定理oxyAB1nzkz1kz2z1zkC12.)(limd)(1knkknCzfzzf（2）.积分存在的条件及线积分的计算（a）化成线积分且存在则积分连续沿逐段光滑的曲线设,d)(,),(),()(CzzfCyxivyxuzfCCCyyxuxyxviyyxvxyxuzzf.d),(d),(d),(d),(d)(（b）用参数方程将积分化成定积分的参数方程是设简单光滑曲线C)()()()(btatiytxtzz.d)()]([d)(ttztzfzzfCba则(3).积分的性质;d)(d)()1(CCzzfzzf)(;d)(d)()2(为常数kzzfkzzkfCC;d)(d)(d)]()([)3(CCCzzgzzfzzgzf.)(),(连续沿曲线设CzgzfCCCzzfzzfzzfCCC12;d)(d)(d)(,,)4(21则连结而成由设CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)(,)()(,)5(那末上满足在函数的长度为设曲线(4)柯西定理.d)(,)(无关线与连结起点及终点的路那末积分析内处处解在单连通域如果函数定理1CzzfBzfC.0d)(:)(,)(czzfCBzfBzf的积分为零内的任何一条封闭曲线沿那末函数内处处解析在单连通域如果函数).()(,d)()(,)(0zfzFBfzFBzfzz并且解析函数内的一个必为那末函数析内处处解在单连通域如果函数定理2由定理得21d)(d)(CCzzfzzf10d)(zzzzfBB0z1z0z1z1C2C1C2C(5).原函数的定义.)()(,)()(,)()(的原函数内在区域为那末称即内的导数为在区域如果函数BzfzzfzzfBz.)(d)()(0的一个原函数是因此zffzFzz.)(一个常数的任何两个原函数相差zf.,)()(d)(,)()(,)(100110内的两点为域这里那末的一个原函数为内处处解析在单连通域如果函数定理BzzzGzGzzfzfzGBzfzz(牛顿-莱布尼兹公式)(6).闭路变形原理,,,,,,,,,,,2121DCCCCCCCCDCnn为边界的区域全含于并且以互不包含也互不相交它们内部的简单闭曲线是在内的一条简单闭曲线多连通域为设,)(内解析在如果DzfDC1C2C3C(7).复合闭路定理一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.那末).,,,,:(,,,,2121顺时针进行按按逆时针进行其方向是组成的复合闭路为由这里nnCCCCCCCC.0d)()2(zzf;均取正方向及其中kCC,d)(d)()1(1nkCCkzzfzzf(7).柯西积分公式CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)(,,,,)(000那末内任一点为于它的内部完全含闭曲线内的任何一条正向简单为内处处解析在区域如果函数一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.则有是圆周如果,0ieRzzC.d)(π21)(π2000ieRzfzf(8).高阶导数公式.,)(),2,1(d)()(2!)(:,)(0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而且它的内部全含于线任何一条正向简单闭曲的内围绕的解析区域为在函数其中导数为阶它的的导数仍为解析函数解析函数二、复积分典型例题例1计算的值，其中C为1）沿从到的线段：2）沿从到的线段：与从到的线段所接成的折线.czzd)0,0()1,1(;10,,ttytx)0,0()0,1(,10,0,:1tytxC)0,1()1,1(10,,1:2ttyxC解10)(d)(dittittzzc10d)1)((tiitt10d2tt)1,1()0,1(C1C2COxy;1zzzzzzcccddd)2211010d)1(dtiittti2121.1i解.d42)1cos(21001zzzzzz例2计算故由柯西定理得.0d42)1cos(21001zzzzzz被积函数奇点不在积分区域内，计算以下积分沿指定路径23:izC例3CCzzzzezzz.d)1()2(;d)1(1)1(22解由复合闭路定理有则及为半径作圆以为圆心及以分别及内有两个奇点在,41,00)1(1)1(212CCizzizzCzzCCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(1222解法一利用柯西定理及重要公式izizzzz1211211)1(12由柯西定理有,0d1211zizC,0d1211zizC,0d12zzC,0d1212zizCyxOiiC2C1C21d)(21d1d)1(12CCCzizzzzzzii2212.i解法二利用柯西积分公式,11)(121内解析在Czzf,)(1)(22内解析在CizzzfCCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(122221d)]([1d)1(12CCzizizzzzz)(2)0(221iiffi2122ii.i由复合闭路定理有则及为半径作圆以为圆心及以分别及内有两个奇点在,41,00)1()2(212CCizzizzCzzezCCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(222,1)(121内解析在Czezfz,)()(22内解析在Cizzezfz因此由柯西积分公式得CCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(22221d)(d)1(2CzCzzizizzezzze)(2)0(221iiffi222ieii)].1cos2(1[sini)2(iei.10,d)1(3光滑曲线的闭与是不经过其中计算CzzzeCz例4解分以下四种情况讨论：则也不包含既不包含若封闭曲线,10)1C,)1()(3内解析在Czzezfz.0d)1(3Czzzze由柯西定理得则而不包含包含若封闭曲线,10)2C由柯西积分公式得内解析在,)1()(3CzezfzxyOC1zzzezzzeCCzzd)1(d)1(3303)1(2zzzei.2i则而不包含包含若封闭曲线,01)3C,)(内解析在Czezfz由高阶导数公式得zzzezzzeCCzzd)1(d)1(33zzzeCzd)1(3)1(!22fi132)22(zzzezzi.ie,01)4又包含既包含若封闭曲线C,,,,,0,1,0212121互不包含互不相交与且内也在和使为半径作圆以为圆心则分别以CCCCCCC据复合闭路定理有Czzzzed)1(321d)1(d)1(33CzCzzzzezzzexyOC11C2CCziezzze.)2(d)1(3所以,)3d)1(23iezzzeCz的结果即为而积分,2)2d)1(13izzzeCz的结果即为而积分解0)1(1)1()!1(2d)1(znznnizz;00)1(1)()!1(2d)2(znzznzenizze0)!1(2zzeni.)!1(2ni.d)2(,d)1(11zzezzznzzn为大于1的自然数.n例5计算下列积分所以的奇点和是因为,10nznzezz高阶导数公式应用三、复变函数级数重点与难点重点：难点：1、幂级数收敛半径2、函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数)()()()(21zfzfzfzsnn称为这级数的部分和.级数最前面项的和n1.复变函数项级数,),2,1()}({为一复变函数序列设nzfn)()()()(211zfzfzfzfnnn其中各项在区域D内有定义.表达式称为复变函数项级数,记作.)(1nnzf四、内容提要2.幂级数1)在复变函数项级数中,形如.zczczcczcnnnnn22101的级数称为幂级数.,0时当a22100)()()(azcazccazcnnnnnazc)(----阿贝尔Abel定理如果级数0nnnzc)0(0zz0zz0zz0zz,z在收敛,,z那末对的级数必绝对收敛,如果在级数发散,那末对满足的级数必发散.满足3.收敛定理方法1:比值法方法2:根值法4.收敛半径的求法,0lim1nnncc如果那末收敛半径.1R.,0;0,;0,1R即,0limnnnc如果那末收敛半径.1R5.复变幂级数在收敛圆内的解析性00)(nnnzzc设幂级数的收敛半径为,R那末是收敛圆Raz内的解析函数.它的和函数00)()(nnnzzczf,)(zf即(1)(2))(zf在收敛圆Raz内的导数可将其幂级数逐项求导得到,即.)()(110nnnzznczf(3))(zf在收敛圆内可以逐项积分,即0.,d)(d)(ncnncRazczazczzf或01.)(1d)(nnnzaazncf6.泰勒级数,2,1,0),(!10)(nzfncnn其中泰勒级数1)定理设)(zf在区域D内解析,0z为D内的一d为0z到D的边界上各点的最短距离,那末点,dzz0时,00)()(nnnzzczf成立,当,!!!21)1(02nnnznznzzze,111)2(02nnnzzzzz,)!12()1(!5!3sin)4(1253nzzzzznn2)常见函数的泰勒展开式)1(z)1(z)(z)(z,)1()1(111)3(02nnnnnzzzzz,)!2()1(!4!21cos)5(242nzzzznn7.洛朗级数定理内可展开成洛朗级数在那末析内处处解在圆环域设DzfRzzRzf)(,)(201,)()(0nnnzzczfCnnzficd)()(π2110其中),1,0(nC为圆环域内绕的任一正向简单闭曲线.0z为洛朗系数.1)根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.(2)间接展开法2)将函数展为洛朗级数的方法(1)直接展开法,d)()(π2110Cnnzfic根据洛朗定理求出系数.)()(0nnnzzczf然后写出例1求下列幂级数的收敛半径0002!)3(!)2()1(nnnnnnznnznz解nnncc1lim)1(由22)1(limnnn,1.1R得nnncc1lim)2(由)!1(!limnnn,0.R得nnncc1lim)3(由!)!1(limnnn,.0R得三、典型例题例2展开函数成的幂级数到项.zeezf)(z3z解,)(zezeezf,)()(2zzezezeeeezfzzzezezezeeeeeezf32)()(