数值分析总复习提纲

1数值分析总复习提纲数值分析课程学习的内容看上去比较庞杂，不同的教程也给出了不同的概括，但总的来说无非是误差分析与算法分析、基本计算与基本算法、数值计算与数值分析三个基本内容。在实际的分析计算中，所采用的方法也无非是递推与迭代、泰勒展开、待定系数法、基函数法等几个基本方法。一、误差分析与算法分析误差分析与算法设计包括这样几个方面：（一）误差计算1、截断误差的计算截断误差根据泰勒余项进行计算。基本的问题是(1)1()(01)(1)!nnfxxn，已知ε求n。例1．1：计算e的近似值，使其误差不超过10－6。解：令f(x)=ex,而f（k)(x)=ex,f（k)(0)=e0=1。由麦克劳林公式，可知211(01)2!!(1)!nxxnxxeexxnn当x=1时，1111(01)2!!(1)!eenn故3(1)(1)!(1)!neRnn。当n＝9时，Rn(1)10－6，符合要求。此时，e≈2.718285。2、绝对误差、相对误差及误差限计算绝对误差、相对误差和误差限的计算直接利用公式即可。基本的计算公式是：①e(x)＝x*－x＝△x＝dx②*()()()lnrexexdxexdxxxx③(())()()()efxfxdxfxex④(())(ln())refxdfx⑤121212121122121122((,))(,)(,)(,)()(,)()xxxxefxxfxxdxfxxdxfxxexfxxex⑥121212((,))((,))(,)fxxfxxfxx⑦x2注意：求和差积商或函数的相对误差和相对误差限一般不是根据误差的关系而是直接从定义计算，即求出绝对误差或绝对误差限，求出近似值，直接套用定义式()()rexexx或x，这样计算简单。例1．2：测得圆环的外径d1=10±0.05(cm)，内径d2=5±0.1(cm)。求其面积的近似值和相应的绝对误差限、相对误差限。解：圆环的面积公式为：2212()4Sdd所以，圆环面积的近似值为222(105)58.905()4Scm由上述讨论，面积近似值的绝对误差限为112211222()(2()2())(()())42(100.0550.1)21.57()Sddddddddcm相对误差为()1.57()100%2.7%58.905SSS相对误差要化成百分数。3、绝对误差、相对误差、有效数字的关系计算绝对误差、相对误差、有效数字的关系依据如下结论讨论：①如果一个数*1231110.(0)nnnxaaaaaaa其近似值12310.nnxaaaaa是对x*的第n+1位进行四舍五入后得到的，则x有n位有效数字，且其绝对误差不超过1102n，即1*102nxx。②如果一个数*1231110.10(0)mnnnxaaaaaaa的近似值312310.10mnnxaaaaa是对x*的第n+1位进行四舍五入后得到的，则x有n位有效数字，且其绝对误差不超过1102mn，即1*102mnxx。③设12310.10mnnxaaaaa是x*的具有n位有效数字的近似值，则其相对误差限为111102na反之，若x的相对误差限111102(1)na则x至少具有n位有效数字。例1.3：求3的近似值，使其绝对误差不超过31102。解：因为132所以，化成12310.10mnnxaaaaa的形式，有11,1am。而31411101022，所以，由定理2，n=4，所以近似值应保留4位有效数字。则31.732。例1．4：要使11的近似值的相对误差不超过410，应取几位有效数字？（5％）解：设取n个有效数字可使相对误差小于410，则141110102na，而3114，显然13a，此时，114111101010223nna，即14110106n，也即561010n所以，n=5。例1．5：已知近似数x的相对误差限为0.3％,问x至少有几个有效数字？解：设x有n位有效数字，其第一位有效数字按最不利情况取为9，则411311110.3%10101010002(91)2102210nnnn由上可得6101000n，n≈2.2，所以取n=2。指出：也可以按首位为1，9分别计算，取较小者。4、计算方法的余项计算各种计算方法的余项的计算根据相应的余项定理进行。（二）误差分析精度水平的分析主要依据两个结论：相对误差越小，近似数的精确度越高。一个近似数的有效数字越多，它的相对误差越小，也就越精确。反之亦然。例1.6：测量一个长度a为400米，其绝对误差不超过0.5米，测量另一长度b为20米，其绝对误差不超过0.05米。问，哪一个测量的更精确些？解：0.50.125%4000.050.25%20aabbab显然，δaδb所以测值a更准确一些。答：测值a更准确一些。指出：衡量测量工作的好坏用相对误差。解决这样的题目就是三个步骤：第一，求出两个相对误差。第二，比较两个相对误差的大小。第三，结论。（三）算法分析1、稳定性分析算法的稳定性通过对计算的误差的扩缩情况进行分析。例1．7：设近似值T0=S0=35.70具有四位有效数字，计算中无舍入误差，试分析分别用递推式15142.8iiTT和11142.85iiSS5计算T20和S20所得结果是否可靠。解：设计算Ti的绝对误差为e(Ti)=Ti*－Ti，其中计算T0的误差为ε，那么计算T20的误差为e(T20)=T20*－T20＝（5T19*－142.8）－（5T19－142.8）=5(T19*－T19)＝5e(T19)=52e(T18)=……=520e(T0)显然误差被放大，结果不可靠。同理，202001()()5eSeS，误差缩小，结果可靠。指出：注意理论分析，因此初始近似值本身是不必要的。2、收敛性分析算法的收敛性分析主要是迭代法解方程的收敛性分析和迭代法解方程组的收敛性分析，其他计算方法的收敛性分析一般在具体计算过程中体现。（1）迭代法收敛性判定的基本结论是：定理（迭代法基本定理）：对于任意的f∈Rn，和任意的初始向量x(0)∈Rn，迭代法x(k+1)=Bx(k)+f(k=0,1,2,…)收敛的充分必要条件是迭代矩阵B的谱半径ρ(B)＜1。推论：若1B，则迭代格式x(k+1)=Bx(k)+f(k=0,1,2,…)收敛。（2）判定雅可比迭代法、高斯—赛德尔迭代法收敛的基本依据是：定理：设线性方程组Ax=b，其系数矩阵为111212122212(0)nniinnnnaaaaaaAaaaa则雅可比迭代法迭代矩阵的特征值满足如下条件：1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa；高斯－赛德尔迭代法迭代矩阵的特征值满足如下条件：1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa。(3)系数矩阵为严格对角占优矩阵的方程组的迭代法收敛性：6定理：系数矩阵为严格对角占优的线性方程组，它的雅可比迭代和高斯－赛德尔迭代都是收敛的。指出：迭代法基本定理是一般结论，对任意迭代法的收敛性都能分析。限定雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法则不必应用基本定理，以回避求迭代矩阵。例1．8：已知线性方程组1231231232211221xxxxxxxxx求解这个方程组的雅可比迭代法和高斯—赛德尔迭代法是否收敛？解：122111221A，令2211022，则312300，所以ρ(BJ)=01所以雅可比迭代法收敛。而21232210(2)00,222，所以ρ(BG-S)=21所以高斯—赛德尔迭代法发散。7二、基本计算与基本算法（一）秦九韶算法秦九韶算法是一种求多项式的值的计算方法。对任意给定的x，计算代数多项式1110()nnnnnPxaxaxaxa的值，可以利用下面的方法计算：1210()((()))nnnnPxaxaxaxaxa这种算法就是著名的秦九韶算法。是我国宋朝伟大的数学家秦九韶的伟大发现。秦九韶算法可以写成递推的形式：10(1,2,1,0)()nnkkknsasxsaknpxs具体计算式，递推格式是采用如下表格形式进行计算：1232101123211123210()knnnnknnnkkknnnnnaaaaaaaaxxsxsxsxsxsxsxssaxssassssss根据递推规则，计算的过程是要把横线上面每一竖列的两个数相加得横线下的数。其中ak由多项式给出，而每一个xsk+1则由前一列中的sk+1与已知数x相乘得出。所以可以由最前一列逐步递推计算出最后结果。例2．1：用秦九韶算法计算多项式76432()23461pxxxxxxx在x=2处的值p(2)。解：将所给多项式的系数按降幂排列，缺项系数为0。1203416122006410810032549计算过程如下：①s7＝a7＝1。②x.s7＝2。③s6=a6+xs7=-2+2=0（竖向相加）④重复以上过程。⑤s0=－1－8＝－9。所以，p(2)＝－9。（二）有效的基本算法所谓有效的基本算法是指，根据算法设计的原则，设计出的一些求值计算的基本算法，这些算法避免了两个相近的数相减、较小的数作除数等使得计算误差增大的问题，减少了计算次数，通过调整计算顺序避免了大数吃小数。8例2．2：指出下列各题的合理计算途径（对给出具体数据的，请算出结果）［1］1－cos1○（三角函数值取四位有效数字）［2］2ln(30301)（对数函数值取六位有效数字）［3］1cossinxx(其中x的绝对值很小）［4］x127［5］10011(1)nnn解：［1］201cos2sin,sin0.50.00872xx［2］2221303010.01667,30301ln(30301)4.09414［3］1cossintansin1cos2xxxxx［4］x127＝x·x2·x4·x8·x16·x32·x64［5］由小到大依次相加。100100111111100()1(1)1101101nnnnnn注意：能求出值来的求值。（三）数值分析的基础计算1、矩阵分解主要包括LU分解和乔累斯基分解。矩阵的手算分解就是应用矩阵乘法。注意［1］注意分解式的格式。［2］分解计算要认真。［3］注意分解的顺序。先求U的第一行，再求L的第一列。矩阵的LU分解中，L是单位下三角阵，U为上三角阵，即2112111nnlLll，11121222nnnnuuuuuUu注意L的对角线元素都是1。乔累斯基分解的结构是A=PTP。注意：［1］矩阵A是对称正定矩阵，则分解前必须声明“矩阵A是对称正定矩阵，可以进行乔累斯基分解”。9［2］P是上三角矩阵。例2．3：设有矩阵4321A，作矩阵A的LU分解。解：对矩阵4321A，设1112212210431021uulu先计算U的第一行，由矩阵乘法，有11111112122212414313auuauuu＋00＝＋0再计算L的第一列，由矩阵乘法，有2121112121112101/2alulau然后计算U的第2行222112222222211211111322aluuualu所以1043,111022LU