多元函数微积分

第6章多元函数微积分第1节多元函数的概念第2节多元函数的偏导数和全微分第3节多元复合函数、隐函数的求导法则第4节多元函数微分法的应用第5节二重积分的概念第6节二重积分的计算第7节二重积分的应用§6.1多元函数的概念二元函数的定义二元函数的几何意义二元函数的极限二元函数的连续性小结思考与练习定义1在某一给定如果当变量和设有三个变量yxzyx,,,按照一定时，变量内任取一对值的二元有序实数对zyxD),(yxz,,叫做变量它们对应，则变量总有唯一确实的数值和的规律),(yxfz的二元函数，记作称为函变化的范围为因变量，为自变量，其中Dyxzyx),(,),(),(,),(0000yxyxfzDyx称为对应于则，数的定义域。设点的函数值，函数值的总体称为函数的值域。类似地，可定义三元函数及其他多元函数。二元函数的定义例１之间具有关系高和它的底半径正圆锥体体积hrv,hrv231在一定范围的变化而变化，当随着这里，hrhrv,,取定的值就随之确定，即当内取定一队值时，vhr)0,0(，这时底半便有确定的值与之对应时，二元有序数组vhr),(时间不存在依赖关系，这是相互独立的，它们之和高径hr的二元函数。和高是半径体积hrv例2一个有火炉的房间内,在同一时刻的温度分布唯一的温度的一个三元是与之对应，这时温度zyxuu,,),,(zyxuu函数，故可表为tzyxut,,,就是的温度分布，则温度若考虑房间不同时刻),,,(tzyxuu的一个四元函数类似的例子还可举出很多,今后我们主要研究二元函数。处都有后，房间内每一点在选定空间直角坐标系),,(zyx一般地讲，二元函数的几何意义表示空间直角坐标系中的一个曲面。),(yxfz设二元函数Dyx),(内每取一点在定义域D值，空间中的得到相应的根据函数的关系式就可zyxp),,(跑遍当点的坐标满足关系式（),(),,()),(,,yxpyxfzyxfyxM就在空间描绘出一个曲（时，相应的点定义域)),(,,yxfyxMD的图形。函数面，这个曲面就是二元),(yxfz二元函数的几何意义（2）二元函数z=f(x,y)的图形——空间点集{(x,y,f(x,y))|(x,y)D}.——通常是一张曲面（函数曲面）.内有定义，在开区域（或闭区域）设函数Dyxf),(对于任意给定的正数的内点或边界点，如果是Dyxp),(000，使得对于适合不等式，总存在正数20200)()(0yyxxppAAyxfDyxp成立，则称常数都有的一切点),(,),(时的极限，记作当为函数00,),(yyxxyxf0),0(),(),(lim00ppppAyxfAyxfyyxx这里或二元函数的极限小结：（１）的距离与点是指点趋于（),(),()),(00000yxpyxpyxyx函数相类似。趋于零。这一点与一元（2020)()yyxx（２）为极限，是指以时，函数趋于（当（Ayxfyxyx),(),),00。时，函数都无限接近于以任何方式趋于Ayxpyxp),(),(000例３求证22221sin)(),(yxyxyxf设22222222221sin01sin)(yxyxyxyxyx)0(22yx0),(lim00yxfyx证明，则当取可见，对任何,0时，总有220)()(0yyxx成立〈22221sinyxyx所以，0),(lim00yxfyx由于平面上由一点到另一点有无数条路线，因此二元函数,,)(),000复杂的多趋于要比一元函数中时趋于中当（xxyxyx沿如果也可以沿任何曲线可以沿任何直线例如),(,,,yx那么二重所得的极限值不同时不同的路线趋于,,),(00yx极限也就不存在的是内有定义或闭区域在开区域设函数DyxpDyxf),(,)(),(000如果且内点或边界点,,0Dp),(),(lim0021yxfyxfyx在点否则称函数连续在点则称函数),(;),(),(000yxfyxpyxf则称它在区上每一点都连续在区域如果函数间断,),(.)(00Dyxfyx.,,质二元连续函数有下列性和一元函数类似上连续域D性质１（最大值和最小值定理）上有界闭区域若函数Dyxf),(.,和最大值各一次上一定至少取得最小值则它在连续D二元函数的连续性性质３（零点定理）性质４（有界性定理）性质２（介值定理）上连续在有界闭区域若函数Dyxf),(上取得介于这两个则它在值上取得两个不同的函数且它在DD,.次值之间的任何值至少一且上连续在有界闭区域若函数,),(Dyxf则至少数值数值和一个小于零的函它取得一个大于零的函,.0),(,),(fD使得有一点则上连续在有界闭区域若函数,),(Dyxf.上有界它必在D例４设),(,23sin),(21limyxfxyeyxyxfyxxy求解在其定义域内且点是初等函数由于)2,1(,),(yxf,)2,1(),(处连续在点故yxf因此232223sin)2,1(),(22221limeefyxfyx小结：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．所谓定义区域，是指包含在定义域内的区域或闭区域．由多元初等函数的连续性，如果要求它在点而处的极限,0p点的则极限值就是函数在该区域内该点又在此函数的定义,即函数值,)()(lim00pfPfpp思考题:一元函数连续和二元函数连续的区别与联系。上页首页下页尾页§6.2多元函数的偏导数和全微分偏导数的概念偏导数的几何意义偏导数与连续的关系小结思考与练习高阶偏导数全微分的概念和应用（未做）上页首页下页尾页固定当的某一邻域内有定义，在点（设函数yyxyxfz),),(00相应的函数有增量时处有增量在而在,,00xxxy),(),(0000yxfyxxfzx如果极限xyxfyxxfx),(),(lim00000的偏处对在点则称此极限为函数存在xyxyxfz),(),(,00记作导数,偏导数的概念上页首页下页尾页),(,,,00000000yxfzxfxzxyyxxxyyxxyyxx或同理,如果极限yyxfyyxfy),(),(lim00000的偏处关于在（数存在，则称此极限为函yyxyxfz),),(00导数,记作),(,,,00000000yxfzyfyzyyyxxyyyxxyyxx或上页首页下页尾页xyxDyxfz处对于内每一点在平面区域如果函数),(),()(),()yxDyxfy或内有对在函数的偏导数都存在，则称（或偏导函数,简称偏导数,记作,xz,),(xyxf,zx),,(yxfx,yz,),(yyxf,yz),,(yxfy上页首页下页尾页解根据偏导数的定义可知,求多元函数关于某个自变量的偏导数,并不需要新的方法,只需将其他自变量看作常数,仅对一个自变量求导,因此,一元函数的求导法则和求导公式,对求多元函数的偏导数仍然适用.的偏导数。求yxz2sin2求导，得看作常数，对视为求xyxz,yxxz2sin2例1上页首页下页尾页例2求导，得看作常数，对视为求yxyz,yxyz2cos22)5,0(),4,3(,),(22yxffyxyxyxf求设解22221221),(yxxyxxyxfx因为22221221),(yxyyxyyxfy所以52531)4,3(f011)5,0(yf上页首页下页尾页yzxzxzy,的偏导数求例3解1yyxxzxxyzyln上页首页下页尾页的偏导数有简单的几何在点（二元函数),),(00yxyxfz意义.000000),()),(,,MyxfzyxfyxM上的一点，过为曲面（设则导数程为截曲面得一曲线，其方作平面),,(,00yxfzyy,),(00xxyxfdxdxxTMMyxf0000),(的切线就是曲线在点即偏导数000),(xxyxfxy是曲面被平面数轴的斜率；同样，偏导对轴的斜率。对的切线所截成的曲线在点yTMMy00偏导数的几何意义上页首页下页尾页)y,x(000x0y如下图所示上页首页下页尾页.)(0续可导，则它在该点必连在我们知道，一元函数xxfy,),(),,(00的两个偏导数都存在即使在点但对于二元函数yxyxfz不一定连续。在点（函数),),(00yxyxf例如010),(22xyxyyxyxf0)(lim)0,0()0,0(lim)0,0(200xxxfxffxxx0)(lim)0,0()0,0(lim)0,0(200yyyfyffyxy偏导数与连续的关系上页首页下页尾页而当）的两个偏导数都存在，在点（可见，函数,00),(yxf时，有趋向于点沿直线（动点)0,0(0),yyxM0lim)0,(lim200xxfxx时，有趋向于点沿直线（当动点)0,0(),xyyxM11lim),(lim00xxxxf不连续。点的极限不存在，当然在在点（可见，)0,0()0,0),(yxf注:偏导数存在与连续的区别(1)偏导数存在，不一定连续；(2)连续，不一定存在偏导数；上页首页下页尾页高阶偏导数可定义为相应低一阶偏导数的偏导数.例如设内具有偏导数：在区域函数Dyxfz),(),,(yxfxzx),,(yxfyzy一般来说,这两个偏导数还是在对的函数，如果它们又存yx,我们的二阶偏导数函数的偏导数，我们就定义或对.),(yxfzyx可定义二元函数的二阶偏导数如下),()(22yxfxzxzxxx高阶偏导数上页首页下页尾页),()(2yxfxyzyzxyx),()(22yxfyzyzyyy.),(求偏导数先对自变量表示函数这里，xyxfzfxy数。通常称为二阶混合偏导和yxxyff),()(2yxfyxzxzyxy上页首页下页尾页例4解的所有二阶导数求xyyxz1arctan22)1()()()1()1(11xyyyxxyxyyxxz222222211)1)(1(1)()1(1xxyyyxxyy22)1()()()1()1(11xyxyxxyxyyxyz222222211)1)(1(1)()1(1yxyxyxxyx上页首页下页尾页)1(2222xxxz)1(2222yyyz02xyz02yxz二阶以上的偏导数称为高阶偏导数上页首页下页尾页例5的所有二阶导数求)2sin(yxezx解)2cos(2)2sin(yxeyxexzxx)2cos(yxeyzx)2sin(4)2cos(2)2cos(2)2sin(22yxeyxeyxeyxexzxxxx)2sin(22yxeyzx)2sin(2)2cos(2yxeyxeyxzxx)2sin(2)2cos(2yxeyxexyzxx上页首页下页尾页上述例子中二阶混合偏导数都是相等的,但对许多二元函数来说,它们的二阶混合偏导数并不相等,也就是说两者相等是要有条件的.为此,给出下面的定理:定理6.1xyzyxzyxfz22,),(的两个二阶混合偏导数如果函数数必内这两个二阶混合偏导内连续，那么在该区域在区域D相等.例6),2,0,1(),1,0,0(,),,(222xzxxffzxyzxyzyxf求设)1,0,2(),0,1,0(zzxyzff上页首页