【数列】数列综合练习题(1)--测试用

1数列综合练习题一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分1、数列的一个通项公式是（）A.B．C．D．2、若两数的等差中项为6，等比中项为10，则以这两数为根的一元二次方程是（）A、010062xxB、0100122xxC、0100122xxD、0100122xx3、已知-9,a1,a2,-1四个实数成等差数列，-9,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数，则b2(a2-a1)=（）A.8B.-8C.±8D.4、已知数列na是等比数列，若,aaaa41813229则数列na的前30项的积30T（）A、154，B、152，C、1521，D、153，5、已知等比数列{an}的公比为2,前4项的和是1,则前8项的和为()A．15.B．17.C．19.D．216、已知等差数列}{na的前n项和为nS，若45818,aaS则（）（A）18（B）36（C）54（D）727、已知方程0)2)(2(22nxxmxx的四个根组成一个首项为41的等差数列，则|m－n|=（）A．1B．43C．21D．838、等差数列{an}中，a1+a2+…+a50＝200，a51+a52+…+a100＝2700，则a1等于()A．－1221B．－21．5C．－20．5D．－209、设{an}是由正数组成的等比数列,且公比q=2,如果a1·a2·a3·…·a30=230,那么a3·a6·a9·…·a30=()A．210.B．215.C．220.D．216.10、某人从1999年9月1日起，每年这一天到银行存款一年定期a元，且每年到期的存款将本和利再存入新一年的一年定期，若年利率r保持不变，到2003年9月1日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数为A、51raB、()()[]rrra++1-15C、41raD、115rra12)1(3nnnann12)3()1(nnnann121)1()1(2nnann12)2()1(nnnann,924,715,58,1892二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分。11、已知数列的通项公式74nan，则其中三位数的个数有_______个12、设等差数列}{na的前n项和为nS，若2010SS，则30S的值是_______。13、已知数列na的前n项和公式为,nsn12那么此数列的通项公式为。14、在各项均为正数的等比数列na中，若5051aa=9，则=+++10032313log...loglogaaa15、)21(813412211nnnS________________．三、解答题：本大题共7小题，共84分。15、（本小题满分10分）已知等差数列na中，公差为,1d且9999s，求852aaa9895aa的值。16、（本小题满分14分）⑴在等比数列na中，若,aa,aa6243224求首项1a和公比q。⑵设等比数列na，ns是它的前n项和，若,sss9632求公比q。17、三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减2,则成等差数列，求这三个数.（10分）318、已知数列na是等差数列，且.12,23211aaaa（Ⅰ）求数列na的通项公式；（4分）（Ⅱ）令).(3Rxabnnn求数列nb前n项和的公式.（6分）19、（本小题满分12分）某家用电器的生产厂家根据其产品在市场上的销售情况，决定对原来以每件2000元出售的一种产品进行调价，并按新单价的八折优惠销售，结果每件产品仍可获得实际销售价20%的利润。已知该产品每件的成本是原销售单价的60%。（I）求调整后这种产品的新单价是每件多少元？让利后的实际销售价是每件多少元？（Ⅱ）为使今年按新单价让利销售后的利润总额不低于20万元，今年至少应销售这种产品多少件？（每件产品利润=每件产品的实际售价-每件产品的成本价）20、设,4,221aa数列}{nb满足：,1nnnaab.221nnbb（1）求证数列}2{nb是等比数列(要指出首项与公比),（2）求数列}{na的通项公式.（14分）4参考答案一：选择题1.D2.D3.C4.B5.B6.D7.C8.C9.C10.B二：填空题11.25512.013.2,120,0nnnan14.10015、)21(813412211nnnSnnn21121三：解答题15、解法一：9999S，na是等差数列所以9929899991da，又1d，481a4712daa，4997198daa，2982aa所以：852aaa9895aa332233233982aa解法二：由99299991aa，2991aa，亦即2982aa所以：852aaa9895aa332233233982aa16、解：⑴na是等比数列，则根据已知有：24131qaqa①6211qaqa②联立①②两式可解得：511a，5q⑵当1q时，na是常数列，则根据,sss9632得51111863aaa，01a，因为na是等比数列，01a故1q。当1q时，qqaqqaqqa1121111916131，解得321q。17、解:设三数为.,,aqaqa282)2(25123qaaaqqaa或.218qa则三数为,4,816或,168,.418、（Ⅰ）解：设数列}{na公差为d，则,12331321daaaa又.2,21da所以.2nan（Ⅱ）解：由,323nnnnnab得,323)22(343212nnnnnS①.323)22(34323132nnnnnS②将①式减去②式，得.32)13(332)333(22112nnnnnnnS所以.32)31(31nnnnS19、（I）解：设每件产品的新单价是x元。由已知，该产品的成本是2000×60%=1200（元）。…………………………1分由题意：x·80%-1200=20%·80%·x…………………………………………4分解得x=1875（元）。………………………………………………6分∴80%·x=1500（元）。…………………………………………8分所以，该产品调价后的新单价是每件1875元，让利后的实际销售价是每件1500元。………………………………9分（Ⅱ）解：设全年至少应销售这种电子产品m件。则由题意，m（1500-1200）≥200000，解得32666m。∵m∈N∴m最小值应为667（件）。所以全年至少售出667件，才能使利润总额不低于20万元。……………………14分20、解：(1)),2(222211nnnnbbbb,2221nnbb又42121aab,6数列}2{nb是首项为4,公比为2的等比数列.(2)2224211nnnnbb..221nnnaa令),1(,,2,1nn叠加得)1(2)222(232nann,22)2222(32nann.222212)12(21nnnn数列求和一、利用常用求和公式求和1、等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn[例1]已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.解：由212loglog3log1log3323xxx由等比数列求和公式得：nnxxxxS32=xxxn1)1(＝211)211(21n＝1－n21[例2]设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求1)32()(nnSnSnf的最大值.解：由等差数列求和公式得)1(21nnSn，)2)(1(21nnSn∴1)32()(nnSnSnf＝64342nnn＝nn64341＝50)8(12nn501∴当88n，即n＝8时，501)(maxnf二、错位相减法求和7种这方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：132)12(7531nnxnxxxS………………………①解：由题可知，{1)12(nxn}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{1nx}的通项之积：设nnxnxxxxxS)12(7531432…②（设制错位）①－②得nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1(1。∴21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn[例4]求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.解：由题可知，{nn22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n21}的通项之积设nnnS2226242232…………………………………①14322226242221nnnS…………②①－②得1432222222222222)211(nnnnS1122212nnn∴1224nnnS三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个)(1naa.[例6]求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值解：设89sin88sin3sin2sin1sin22222S………….①将①式右边反序得：1sin2sin3sin88sin89sin22222S……②又因为1cossin),90cos(sin22xxxx，①+②得：)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222S＝89∴S＝44.5四、分组法求和8有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7]求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan，…解：设)231()71()41()11(12naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12naaaSnn（分组）当a＝1时，2)13(nnnSn＝2)13(nn（分组求和）当1a时，2)13(1111nnaaSnn＝2)13(11nnaaan[例8]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.解：设kkkkkkak2332)12)(1(∴nknkkkS1)12)(1(＝)32(231kkknk将其每一项拆开再重新组合得：Sn＝kkknknknk1213132＝)21()21(3)21(2222333nnn=2)1(2)12)(1(2)1(22nnnn