概率论与数理统计§1.3-古典概型与几何概型

古典概型古典概型的经典问题几何概型小结练习§1.3古典概型与几何概型..)2(;)1(古典概型验称为等可能概型或具有以上两个特点的试生的可能性相同试验中每个基本事件发有限个元素试验的样本空间只包含1.定义1.3.1古典概型设试验E的样本空间由n个样本点构成，A为E的任意一个事件，且包含k个样本点，则事件A发生的概率为:2.古典概型中事件概率的计算公式().kAPAn所包含样本点的个数样本空间中样本点总数称此为概率的古典定义.解}.,,,,,,,{TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHS则}.,,{1TTHTHTHTTA而.83)(1AP得}.,,,,,,{)2(2TTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHA.87)(2AP因此).(,)2().(,)1(.2211APAAPA求次出现正面”“至少有一为设事件求”次出现正面为“恰有一设事件将一枚硬币抛掷三次.,)1(为出现反面为出现正面设TH1例117P见例对于比较简单的试验，可以直接写出样本空间和事件，然后数出各自所含样本点的个数即可.对于较复杂的试验，一般不再将样本空间中的元素一一列出，而只需利用排列、组合及乘法原理、加法原理的知识分别求出样本空间中与与事件中包含的基本事件的个数，再由公式即可求出的概率.说明：排列、组合基本公式乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法排列、组合基本公式加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。有重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，nnnn共有nk种排列方式.无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，共有Ank=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式.nn-1n-2n-k+1组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k个，共有种取法.)!(!!!knknkAknCknkn例2设有5件产品，其中3件是正品，2件是次品.今从中抽取两次，每次1件，取出后不再放回.试求：（1）两件都是正品的概率；（2）一件是正品一件是次品的概率；（3）至少有一件是正品的概率.解{},{AB设两件都是正品一件是正品一件},{},C是次品至少有一件是正品n25P5420;则:基本事件总数AkP23A6;而所包含的基本事件数BBkPPPP1111322312;所包含的基本事件数CCkPPPPP111123223312618.所包含的基本事件数所以，由公式可求得：AkPAn63();2010BkPBn123();205CkPCn189().2010说明：PPCPC229()1()1.2010本例中（3）有更简单的求法。本例中样本空间可以作不同的设计(见P12)思考：改为放回抽样，结果又如何？古典概型抽签问题随机抽球问题随机分球问题随机取数问题1.3.2古典概型的经典问题例3设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率.解:设A={取到一红一白}nC25,AkCC1132,53)(251213CCCAP答:取到一红一白的概率为3/5.解法一:1、随机抽球问题解法二:,2554nP,111132233223AkPPPP().PA32233545可见:随机抽球问题可以用组合法解,也可以用排列法解.关键是:计算事件概率时保证分子,分母在同一个样本空间下讨论.一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是.knkMNMnNCCpC在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于使问题的数学意义更加突出，而不必过多地交代实际背景。类似问题：产品检验、抽签问题、福彩摸奖等.在N件产品中抽取n件,其中恰有k件次品的取法共有,knkMNMCC种于是所求的概率为解在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有,nNC种,,,()?NMnkkM设有件产品其中有件次品今从中任取件问其中恰有件次品的概率是多少.knkMNMnNCCpC——超几何分布的概率公式例4例5将3个球随机的放入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解:设A={每盒恰有一球},B={空一盒},n33!,Ak3().PA29(){}{}PBPP1空两盒全有球32923313(1)(2)解法一:(用对立事件)2、随机分球（分房）问题()CPB23332233(2)解法二:(空一盒相当于两球一起放在一个盒子中,另一球单独放在另一个盒子中)()PB33322233(2)解法三:(空一盒包括1号盒空,2号合空,三号盒空且其余两盒全满这三种情况)答:每盒恰有一球的概率为2/9;空一盒的概率是2/3.一般地，把n个球随机地分配到N个盒子中去(nN)，则每盒至多有一球的概率是：nNnPpN某班级有n个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？类似问题：分房问题、生日问题等.()n365个人生日各不相同的概率为.365)1365(364365nnpn而个人中至少有两个人生日在同一天的概率为.365)1365(3643651nnpnp2023304050641000.4110.5070.7060.8910.9700.9970.99999973、随机取数问题例6从1到200这200个自然数中任取一个,(1)求取到的数能被6整除的概率；(2)求取到的数能被8整除的概率；(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率.解:故(1),(2),(3)的概率分别为:,n200[],n1200336[],n2200258[],n3200824;;.3311200825例7在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?设A为事件“取到的数能被6整除”,B为事件“取到的数能被8整除”，则所求概率为).(BAP)()(BAPBAP)(1BAP)}.()()({1ABPBPAP解,33462000333因为,2000333)(AP所以,8424200083由于.200083)(ABP得于是所求概率为)(BAP200083200025020003331)}()()({1ABPBPAP.43.2000250)(BP故得,25082000由于3、分组问题*例830名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。解:设A={每组有一名运动员};B={3名运动员集中在一组}101010302010nCCC30人(1)(2)(3)!!!!!!!!!!302011020101030101010!!...!mnnn1一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第i组恰有ni个球(i=1,…,m)，共有分法：27!3!509!9!9!(1)()203PAn30人(1)(2)(3)(2)解法一(“3名运动员集中在一个组”包括“3名运动员都在第一组”,“3名运动员都在第二组”,“3名运动员都在第三组”三种情况.)()!!!!710101071010107272010271710271773010101018203CCCCCCCCCPB71010272010318()30!20310!10!10!CCCPB30人(1)(2)(3)(2)解法二(“3名运动员集中在一个组”相当于“取一组有3名运动员,7名普通队员,其余两组分配剩余的20名普通队员.)答:每组有一名运动员的概率为50/203;3名运动员集中在一个组的概率为18/203.例9将15名新生随机地平均分配到三个班级中去,这15名新生中有3名是优秀生.问(1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?(2)3名优秀生分配在同一个班级的概率是多少?解15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:55515105CCC.!5!5!5!15(1)每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有.)!4!4!4()!12!3(种因此所求概率为!5!5!5!15!4!4!4!12!31p.9125(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种,对于每一种分法,其余12名新生的分法有.!5!5!2!12种因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有,)!5!5!2()!123(种因此所求概率为!5!5!5!15!5!5!2!1232p.9164抽签问题见P13a(0)!()()!aabaPAabab例袋中有白签，b支红签，一次将签一支支抽取取出后不放回，求第k次抽到白签的概率（1ka+b)11()aabaabCaPACab111()kaabPPaPAPab与k无关定义设样本空间是一个有限区域S.若样本点落在S内任何区域G中的事件A的概率与区域G的测度（长度、面积或体积等）成正比，则区域S内任意一点落在区域G内的概率为区域G的测度与区域S的测度的比值，即().GPAS的测度的测度说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概型.1.3.3几何概型这一类概率通常称为几何概率.(1)设线段l是线段L的一部分,向线段L上任投一点..lLp的长度的长度则点落在线段l上的概率为常见的几何概率有以下三种情况:(2)设平面区域g是平面区域G的一部分,向区域G上任投一点.则点落在区域g上的概率为.gGp的面积的面积(3)设空间区域v是空间区域V的一部分,向区域V上任投一点.则点落在区域v上的概率为.vVp的体积的体积例10随机地向区间[0,5]内掷一点，求点落在区间[1,3]的概率.解[,][,].130525p的长度的长度那么.0,0TyTx两人会面的充要条件为,tyx例11甲、乙两人相约在0到T这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间t(tT)后离去.设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率.会面问题解,,时刻的分别为甲、乙两人到达设yx故所求的概率为正方形面积阴影部分面积p222)(TtTT.)1(12Ttxoytxytyx若以x,y表示平面上点的坐标,则有tTT例12甲、乙两人约定在下午1时到2时之间到某站乘公共汽车,又这段时间内有四班公共汽车，它们的开车时刻分别为1:15、1:30、1:45、2:00.如果甲、乙约定(1)见车就乘;(2)最多等一辆车.求甲、乙同乘一车的概率.假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在1时到2时的任何时刻到达车站是等可能的.xoy12见车就乘的概率为正方形面积阴影部分面积p22)12()41(4.4145:130:115:11215:130:145:1设x,y分别为甲、乙两人到达的时刻,则有,21x.21y解最多等一辆车,甲、乙同乘一车的概率为.8521)161(341pxoy1245:130:115:11215:130:145:1最简单的随机现象古典概型古典概率()kAPAn所包含样本点的个数样本点总数几何概型试验结果连续无穷作业P17:3,5,6,7,2,952张扑克平均分发给甲、乙、丙、丁4个人，求(1)甲拿到4个A的概率；(2)4个A在一个人手上的概率；(3)每人手上都有A的概率.(),()()99484813135252121212