2012年高考数学按章节分类汇编(人教A必修一)：第三章函数的应用

2012年高考数学按章节分类汇编（人教A必修一）第三章函数的应用一、选择题1．（2012年高考（北京文））函数121()()2xfxx的零点个数为（）A．0B．1C．2D．32．（2012年高考（天津理））函数3()=2+2xfxx在区间(0,1)内的零点个数是（）A．0B．1C．2D．33．（2012年高考（江西文））如右图,OA=2(单位:m),OB=1(单位:m),OA与OB的夹角为6,以A为圆心,AB为半径作圆弧BDC与线段OA延长线交与点C．甲.乙两质点同时从点O出发,甲先以速度1(单位:ms)沿线段OB行至点B,再以速度3(单位:ms)沿圆弧BDC行至点C后停止,乙以速率2(单位:m/s)沿线段OA行至A点后停止.设t时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)=0),则函数y=S(t)的图像大致是4．（2012年高考（湖南文））设定义在R上的函数()fx是最小正周期为2的偶函数,()fx是()fx的导函数,当0,x时,0()1fx;当(0,)x且2x时,()()02xfx,则函数()sinyfxx在[2,2]上的零点个数为（）A．2B．4C．5D．85．（2012年高考（湖北文））函数()cos2fxxx在区间[0,2]上的零点个数为（）A．2B．3C．4D．56．（2012年高考（辽宁理））设函数f(x)()xR满足f(x)=f(x),f(x)=f(2x),且当[0,1]x时,f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos()x|,则函数h(x)=g(x)-f(x)在13[,]22上的零点个数为（）A．5B．6C．7D．87．（2012年高考（湖北理））函数2()cosfxxx在区间[0,4]上的零点个数为（）A．4B．5C．6D．7二、解答题8．（2012年高考（上海春））本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为30千米(忽略内、外环线长度差异).(1)当9列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,求内环线列车的最小平均速度;(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时,外环线列车平均速度为30千米/小时.现内、外环线共有18列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟,问:内、外环线应名投入几列列车运行?9．（2012年高考（江苏））如图,建立平面直角坐标系xoy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20ykxkxk表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.10．（2012年高考（湖南理））某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数).(1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间;(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.参考答案一、选择题1.【答案】B【解析】函数121()()2xfxx的零点,即令()0fx,根据此题可得121()2xx,在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像,可得交点只有一个,所以零点只有一个,故选答案B.【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题,实质上考查的是函数图像问题,该题涉及到图像幂函数和指数函数.2.【答案】B【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想,函数的零点的概念,零点存在定理以及作图与用图的数学能力.【解析】解法1:因为(0)=1+02=1f,3(1)=2+22=8f,即(0)(1)0ff且函数()fx在(0,1)内连续不断,故()fx在(0,1)内的零点个数是1.解法2:设1=2xy,32=2yx,在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示:可知B正确.3.【答案】A4.【答案】B【解析】由当x∈(0,π)且x≠2时,()()02xfx,知0,()0,()2xfxfx时,为减函数；()0,()2xfxfx，时,为增函数又0,x时,0f(x)1,在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,在同一坐标系中作出sinyx和()yfx草图像如下,由图知y=f(x)-sinx在[-2π,2π]上的零点个数为4个.【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.xyo2211sinyx()yfx864224681055105.D【解析】由()cos20fxxx,得0x或cos20x;其中,由cos20x,得22xkkZ,故24kxkZ.又因为0,2xπ,所以π3π5π7π,,,4444x.所以零点的个数为145个.故选D.【点评】本题考查函数的零点,分类讨论的数学思想.判断函数的零点一般有直接法与图象法两种方法.对于三角函数的零点问题,一般需要规定自变量的取值范围;否则,如果定义域是R,则零点将会有无数个;来年需注意数形结合法求解函数的零点个数,所在的区间等问题.6.【答案】B【解析】因为当[0,1]x时,f(x)=x3.所以当[1,2]-)[0,1]xx时，(2,f(x)=f(2x)=(2x)3,当1[0,]2x时,g(x)=xcos()x;当13[,]22x时,g(x)=xcos()x,注意到函数f(x)、g(x)都是偶函数,且f(0)=g(0),f(1)=g(1),13()()022gg,作出函数f(x)、g(x)的大致图象,函数h(x)除了0、1这两个零点之外,分别在区间1113[,0][][][1]2222、0,、,1、,上各有一个零点,共有6个零点,故选B【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点,考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想,难度较大.7.考点分析:本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.解析:0)(xf,则0x或0cos2x,Zkkx,22,又4,0x,4,3,2,1,0k所以共有6个解.选C.二、解答题8.解:(1)设内环线列车运行的平均速度为v千米/小时,由题意可知,306010209vv所以,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,列车的最小平均速度是20千米/小时.(2)设内环线投入x列列车运行,则外环线投入(18)x列列车运行,内、外环线乘客最长候车时间分别为12,tt分钟,则123072306060,602530(18)18ttxxxx于是有21221501296072601501731611418180||||1182211412960xxttxxxxx又*xN,所以10x,所以当内环线投入10列,外环线投入8列列车运行,内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1分钟.9.【答案】解:(1)在221(1)(0)20ykxkxk中,令0y,得221(1)=020kxkx.由实际意义和题设条件知00xk，.∴2202020===10112kxkkk,当且仅当=1k时取等号.∴炮的最大射程是10千米.(2)∵0a,∴炮弹可以击中目标等价于存在0k,使221(1)=3.220kaka成立,即关于k的方程2222064=0akaka有正根.由222=204640aaa得6a.此时,22222020464=02aaaaka(不考虑另一根).∴当a不超过6千米时,炮弹可以击中目标.【考点】函数、方程和基本不等式的应用.【解析】(1)求炮的最大射程即求221(1)(0)20ykxkxk与x轴的横坐标,求出后应用基本不等式求解.(2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解.10.【解析】解:(Ⅰ)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为123(),(),(),TxTxTx由题设有12323000100020001500(),(),(),6200(1)TxTxTxxxkxkx期中,,200(1)xkxkx均为1到200之间的正整数.(Ⅱ)完成订单任务的时间为123()max(),(),(),fxTxTxTx其定义域为2000,.1xxxNk易知,12(),()TxTx为减函数,3()Tx为增函数.注意到212()(),TxTxk于是(1)当2k时,12()(),TxTx此时1310001500()max(),()max,2003fxTxTxxx,由函数13(),()TxTx的单调性知,当100015002003xx时()fx取得最小值,解得4009x.由于134002503004445,(44)(44),(45)(45),(44)(45)91113fTfTff而.故当44x时完成订单任务的时间最短,且最短时间为250(44)11f.(2)当2k时,12()(),TxTx由于k为正整数,故3k,此时1375(),()max(),()50TxxTxTxx易知()Tx为增函数,则13()max(),()fxTxTx1max(),()TxTx1000375()max,50xxx.由函数1(),()TxTx的单调性知,当100037550xx时()x取得最小值,解得40011x.由于14002502503752503637,(36)(36),(37)(37),119111311TT而此时完成订单任务的最短时间大于25011.(3)当2k时,12()(),TxTx由于k为正整数,故1k,此时232000750()max(),()max,.100fxTxTxxx由函数23(),()TxTx的单调性知,当2000750100xx时()fx取得最小值,解得80011x.类似(1)的讨论.此时完成订单任务的最短时间为2509,大于25011.综上所述,当2k时完成订单任务的时间最短,此时生产A,B,C三种部件的人数分别为44,88,68.【点评】本题为函数的应用题,考查分段函数、函数单调性、最值等,考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型;第二问利用单调性与最值来解决,体现分类讨论思想.