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第10章第二讲时间：60分钟满分：100分一、选择题(8×5＝40分)1．若A3m＝6C4m，则m＝()A．9B．8C．7D．6答案：C解析：由已知得：m(m－1)(m－2)＝6×m(m－1)(m－2)(m－3)4！，解得m＝7，故选C.2．五名同学解答5道不同的数学题，每名同学解答1道题，其中甲不能解答第1题，则不同的解答方案共有()A．C14C44种B．C14A44种C．C34种D．A44种答案：B解析：甲不能解答第1题有C14种，其它4名同学解答其余4道题有A44种，共有C14A44种方案．故选B.3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为()A．14B．24C．28D．48答案：A解析：方法一：至少有1名女生参加，可分为两种情况：1名女生，3名男生；2名女生，2名男生，故不同的方案种数为C12C34＋C22C24＝8＋6＝14.方法二：至少有1名女生参加，可以用总的分配方案数减去没有女生参加的方案数，故所求方案种数为C46－C44＝15－1＝14.[来源:学&科&网]总结评述：本题主要考查组合的有关知识．4．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有()A．120种B．48种C．36种D．18种答案：C解析：根据分步计数原理，先安排后两个再安排前3个，共有C12C13A33＝36种不同的播放方式．5．(2009·湖南，5)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85B．56C．49D．28答案：C解析：分两类计算，C22C17＋C12C27＝49，故选C.6．(2009·湖北，5)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为()A．18B．24C．30D．36答案：C解析：排除法．先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有C24＝6种方法，再将三组同学分配到三个班级有A33＝6种分配方法，再考虑甲、乙同班的分配方法有A33＝6种，所以共有C24A33－A33＝30种分法．故选C.7．(2009·广东，7)2010年广州亚运组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同的工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有()[来源:学科网]A．48种B．12种C．18种D．36种答案：D解析：若小张和小赵恰有1人入选，则共有C12C12A33＝24种方案，若小张和小赵两人都入选，则共有A23A22＝12种方案，故总共有24＋12＝36种方案．故选D.8．(2009·陕西，9)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为()A．300B．216C．180D．162答案：C解析：分两类：①选0.有C12C23C13A33＝108(种)；②不选0.有C23A44＝72(种)．∴共有108＋72＝180(种)，故选C.二、填空题(4×5＝20分)[来源:Zxxk.Com]9．某校要求每位学生从8门课程中选修5门，其中甲、乙两门课程至少选修一门，则不同的选课方案有________种(用数字作答)．答案：50解析：从8门课程中选修5门，有C58种方案；甲、乙两门课程都没选有C56种方案，故不同的选课方案有C58－C56＝50种．10．某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为________种(用数字作答)．答案：990解析：在已经排好的10个节目中加3个与“抗冰救灾”有关的节目共有13个节目，有13个位置，首先从13个不包括首末两个位置的11个位置中选3个位置安排赈灾节目，然后再排其余的节目，则该晚会的节目单的编排总数为A311＝990，故填990.11．(2009·浙江，16)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是____________(用数字作案)．答案：336解析：3个人各站一级台阶有A37＝210种站法；3个人中有2个人站在一级，另一人站在另一级，有C23A27＝126种站法，共有210＋126＝336种站法．故填336.12．(2009·宁夏、海南，15)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字答案)．答案：140解析：解法一：先从7人中任取6人，共有C67种不同的取法．再把6人分成两部分，每部分3人，共有C36·C33A22种分法．最后排在周六和周日两天，有A22种排法，∴C67×C36C33A22×A22＝140种．解法二：先从7人中选取3人排在周六，共有C37种排法．再从剩余4人中选取3人排在周日，共有C34种排法，∴共有C37×C34＝140种．三、解答题(4×10＝40分)13．5名男生4名女生排成一排．(1)从中选出3人排成一排，有多少种排法？(2)若甲男生不站排头，乙女生不站排尾，则有多少种不同的排法？(3)要求女生必须站在一起，有多少种不同的排法？[来源:学科网ZXXK](4)若4名女生互不相邻，有多少种不同的排法？解析：(1)只要从9名学生中任选三名排列即可．∴共有A39＝9×8×7＝504(种)．(2)将排法分成两类：一类是甲站在排尾，其余的可全排，有A88种排法；另一类是甲既不站排尾也不站排头有A17种站法，乙不站排尾而站余下的7个位置中的一个有A17种站法，其余人全排列，于是这一类共有A17·A17·A77种排法，由分类计数原理知，共有A88＋A17·A17·A77＝287280(种)．(3)女生先站在一起，是女生的全排列，有A44种排法．全体女生视为一个元素与其他男生全排列有A66种排法．由分步计数原理知，共有A44·A66＝17280(种)．(4)分两步．第一步：男生的全排列有A55种排法；第二步：男生排好后，男生之间有4个空，加上男生排列的两端共6个空，女生在这6个空排列，有A46种排法．由分步计数原理知，共有A55·A46＝43200(种)．14．如下图，有11个划船运动员，其中右舷手4人，左舷手5人，还有甲、乙二人左、右都能划，现在选8人组成一个划船队参加竞赛(左、右各4人)，有多少种安排方法？[来源:Zxxk.Com]剖析：本小题考查有附加条件的组合问题的处理方法及正确分类灵活处理问题能力．解析：解法一：按右舷手安排，情况分为三类：右舷手4人都选入有C44C47种；右舷手选3人，则甲、乙选一人做右舷手，再选4人做左舷手，方法数为C34C12C46；右舷手选2人，同理得方法数为C24C22C45.由分类计数原理得安排方法共有C44C47＋C34C12C46＋C24C22C45＝185(种)．解法二：按左舷手安排，情况也可分三类，思考方法同解法一，共有C45C46＋C35C12C45＋C25C22C44＝185(种)安排方法．解法三：按甲、乙安排情况可分六类：(1)甲、乙都不入选，方法有C44C45种；(2)甲、乙有1人入选做右舷手，方法有C34C12C45种；(3)甲、乙有1人入选做左舷手，方法有C44C12C35种；(4)甲、乙两人都入选做右舷手，方法有C24C22C45种；(5)甲、乙两人都入选做左舷手，方法有C25C22C44种；(6)甲、乙两人都入选分别做左、右舷手，方法有C35C34C12种．由分类计数原理得：C44C45＋C34C12C45＋C44C12C35＋C24C22C45＋C25C22C44＋C35C34C12＝185(种)．点悟：按照一个标准分类是正确处理这类问题的关键．要做到不重复、不遗漏，可以看到解法一、解法二两种方法较好．15．(热点预测题)(1)以一个正方体的顶点为顶点的四面体有多少个？(2)连结正方体8个顶点的直线中，共有多少对异面直线？(3)以一个正方体的顶点为顶点的四棱锥有多少个？解析：(1)从8个顶点中任取4个顶点的组合数为C48个，其中四点共面的情形有两类：一类是同表面，共有6个；另一类是平行的对棱确定的平面，也有6个，故可得四面体为C48－2×6＝58(个)．(2)由于每一个四面体的棱都是在连结正方体8个顶点的直线上的，而每个四面体中共有3对异面直线，故所求异面直线的对数为58×3＝174(对)．(3)共面而不共线的四点可成为四棱锥的底面，在平面外找一点为顶点就形成了四棱锥，于是可从四棱锥的底面四点着眼，进行分类：一类是同表面，共有6×C44C14个；另一类是平行的对棱确定的平面，也有6×C44C14个，故可得四棱锥24＋24＝48(个)．16．已知10件不同的产品有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？解析：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24·A22＝A24种测试，再排余下4件的测试位置，有A44种测试．所以共有不同测试法A46·C24A22·A44＝103680种．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法C14·(C16·C33)·A44＝576种．