2013--2014学年高等数学(上)期末练习题

第1页共5页2013～2014学年高等数学（上）期末练习题一、求极限1.531lim232xxxx2.125934lim22xxxxx3.nnn)21(lim4.xxx321lim5.xxx2sinlim06.xxx1sinlim207.xxxsinlim8.xxx11lim09.xxx21lim10.nnnn21lim11.)1112(lim21xxx；12.xxx10)sin1(lim13.xxxtan0)1(lim14.xxeexxxsin2lim015.xxtxtxsind)e1(lim00；16.300d)1ln(lim2xttxx；17.21cos0dlim2xtextx18.设3)(0xf，求hhxfxfh)()(lim000.二、函数的连续性与间断点1.求函数)2ln()(2xxxf的连续区间.2．指出函数21sin()(1)xxfxxx的间断点，并判断类型。3..00,1sin0,00,sin1)(处的连续性在讨论函数xxxxxxxxxf4..)(,,,01-020sin)(为连续函数使确定，，，设xfbaxxexxaxxxfbx.13.5的正根至少存在一个小于证明方程xex第2页共5页三、导数与微分.,42sin.12dxdyxxxy求设2.2lnln2xxxyx，求dxdy.3.xy1cosln，求dy.4．设xxy)1(2，求1dxy5.xedtttdxd20sin6.32dsinddxxttx.7.xattfxxd)(dd8..,),(tandyfxfy求可微其中设9.).0(,)(yexyexyyy求所确定由方程设函数10.所确定由设函数1lnyxyxyy，求0xdxdy11..,arctan)1ln()(222dxyddxdyttytxxyy及求所确定由参数方程设函数12..,sincossin22dxyddxdyteyttxt二阶导所确定的函数的一阶导求参数方程13.设.,2200tutudueyduex，求22dxyd.14.确定a、b使得111)(2xbaxxxxf在1x点处可导。15..)1,0(处的切线与法线方程在点求曲线xey16..)1,1(1ln处的切线与法线方程在点求曲线yxy17..02线方程相应的点处的切线与法在求曲线：teyextt四、利用导数研究函数的性质1..233/2的单调区间和极值求函数xxxf第3页共5页2..,ln22凹凸区间及拐点的单调区间求xxy3.,21)(23处有极值在已知函数xbxaxxxf.)(,,的所有极值及求常数xfba。4..,,)3,1(23babxaxy求凹凸区间及常数的拐点为曲线若点5..),0[93)(23上的最小值在求函数xxxxf6.证明：（1）)0(,21cos2xxx；（2）0)(21ln21xxxxx.),0()(.0)(,0)0(,),0[)(.7单调增加在证明且上二阶可导在xxfxffxf.)1,0(025.83内只有一个根在证明方程xx9.求函数)(xIxtttt02d112在]1,0[上的最大值与最小值.五、求不定积分与定积分1.dxxxex)2(；xxd)53(.23；3.xexd23；4.xexxd2；5.xxd231，6.ttdcos3；7.ttdcos2；8.xxxd492；9.xxxdsincos3；10.dxxx221；11.xxxdln；12.dxxx221arcsin；13.32)1(xdx；14.xxdln15.xxd4202；16.xxdxeln121；17.xxd2cos10；18.dxxxx22-cos）（；19.xxd12151；20.40d1xxxx；21..coscos223dxxx；22.22432d)cossin(xxxx23.已知)(xf的一个原函数是xxsin,求.d)(xxfx24..2,22,42,00,10dxxfxfffxf计算连续设25.已知1211xxxxfx，计算422dxxf第4页共5页26．201,01011dxxfxxexxxfx计算27.已知1ln12xxxxxexfx,计算412dxxf.28.设)(xf是连续函数，且10d)(2)(xxfxxf，求)(xf，10d)(xxf.29.已知Cxdxxf2，求dxxxf21.30.已知Cxxdxxf11,求)(xf.31.设Cxdxxxf2)(ln（C为任意常数），求)(xf。32.判断下列反常积分的收敛性，若收敛，计算其值。402)3(d)1(xx；xxd1)2(13；0)3(0adxeax；dxexxx)()4(33.设)(xf在],[ba上连续，证明babadxxfdxxbaf.34..sin,sin2sin,04200xdxdxxfdxxfxf并计算证明连续设六．定积分的应用（要求画图）1.已知曲边三角形由xy2及0x，1y所围成，（1）求该曲边三角形的面积（2）求该曲边三角形绕x轴及y轴旋转成的旋转体的体积.2.计算由xy，3xy所围成平面图形的面积，并计算上述平面图形绕y轴旋转成的旋转体的体积.3．设平面曲线2xy与直线xy2在所围成的平面区域为D，求平面区域为D的面积及区域D绕x轴旋转所得旋转体的体积。4．过)0,1(点，做曲线xy＝的切线，此切线与曲线xy＝和0y围成一块平面图形。（1）求该平面图形的面积；（2）求该平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积；（3）求该图形边界曲线的弧长。第5页共5页5.过曲线)0(2xxy上某点A做切线,使之与曲线及x轴所围图形的面积为121，求：（1）切点A的坐标；（2）过切点A的切线方程；（3）求上述图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积.6．.31)3(3的一段弧的弧长上相应于计算曲线xxxy七．微分方程1.验证xyxy1,251是方程0532yyxyx的解，并构造该方程的通解.2.验证41y,42xy,43xey均为4)1(yyxyx的解,并构造通解.3.验证xey*是方程xeyyy45的一个特解，并求该方程的通解.4.求下列方程的解.0ln)1(yyyx；0sin)1(cos)2(ydyeydxx,40xy0,)3(02xyxyey；xxyy)4(；xxxysindxdy)5(5.求下列方程的通解(1)02yyy；(2)02yyy；(3)022yyy6.求下列方程的通解(1)xeyyy32；(2)522xyyy；(3)xexyyy)1(27.写出xeyyy67特解待定形式.八．证明1.设函数fx在0,1上连续，在0,1内可导，且010ff，证明：存在0,1，使得0ff。2.设)(xf在区间]1,0[上可微，且满足条件210)(2)1(dxxxff，试证：存在)1,0(，使得0)()(ff.3.设)(),(xgxf在],[ba上连续，证明：在),(ba内存在使badxxgfdxxfg)()()()(。