2013届人教A版文科数学课时试题及解析(15)导数与函数的极值最值B

学而思网校课时作业(十五)B[第15讲导数与函数的极值、最值][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上是()A．增函数B．减函数C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增2．[2012·济南模拟]已知f′(x)是函数f(x)的导数，y＝f′(x)的图象如图K15－3所示，则y＝f(x)的图象最有可能是下图中的()图K15－3图K15－43．函数f(x)＝x3＋3x2＋4x－a的极值点的个数是()A．2B．1C．0D．由a决定4．f(x)＝axlnx的极大值为－2e，则a＝________.能力提升5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极值为()A．极大值为427，极小值为0B．极大值为0，极小值为－427C．极小值为－527，极大值为0D．极小值为0，极大值为5276．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A．－1a2B．a－3或a6C．－3a6D．a－1或a27．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为()A．－5B．－11C．－29D．－378．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．0≤a≤21B．a＝0或a＝7C．a0或a21D．a＝0或a＝219．函数y＝f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线为l：学而思网校＝g(x)＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，F(x)＝f(x)－g(x)，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象如图K15－5所示，且ax0b，那么()图K15－5A．F′(x0)＝0，x＝x0是F(x)的极大值点B．F′(x0)＝0，x＝x0是F(x)的极小值点C．F′(x0)≠0，x＝x0不是F(x)的极值点D．F′(x0)≠0，x＝x0是F(x)的极值点10．[2011·广东卷]函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．11．[2011·绵阳模拟]图K15－6是函数y＝f(x)的导函数的图象，给出下面四个判断．图K15－6①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；④x＝3是f(x)的极小值点．其中，所有正确判断的序号是________．12．已知关于x的函数f(x)＝－13x3＋bx2＋cx＋bc，如果函数f(x)在x＝1处取极值－43，则b＝________，c＝________.13．设a∈R，函数f(x)＝ax3－3x2，若函数g(x)＝f(x)＋f′(x)，x∈[0,2]在x＝0处取得最大值，则a的取值范围是________．14．(10分)[2011·北京卷]已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．15．(13分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为1010，若x＝23时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．学而思网校．(12分)已知f(x)＝xlnx，g(x)＝12x2－x＋a.(1)当a＝2时，求函数y＝g(x)在[0,3]上的值域；(2)求函数f(x)在[t，t＋2](t0)上的最小值；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有xlnxg′x＋1ex－2e成立．学而思网校课时作业(十五)B【基础热身】1．A[解析]f′(x)＝1－cosx0，∴f(x)在(0,2π)上递增．故选A.2．B[解析]根据导数值的正负与函数单调性的关系可以判断选项B正确．3．C[解析]f′(x)＝3x2＋6x＋4＝3(x＋1)2＋10，则f(x)在R上是增函数，故不存在极值点．4．2[解析]函数的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝－alnx＋1x2ln2x，令f′(x)＝0，得x＝1e，当a0时，列表如下：x0，1e1e1e，1(1，＋∞)f′(x)＋0－－f(x)单调递增极大值单调递减单调递减当x＝1e时，函数f(x)有极大值f1e＝a1eln1e＝－ae，故－ae＝－2e，解得a＝2；当a0时，列表如下：x0，1e1e1e，1(1，＋∞)f′(x)－0＋＋f(x)单调递减极小值单调递增单调递增无极大值．故a＝2.【能力提升】5．A[解析]由题设知：f′1＝0，f1＝0⇒3－2p－q＝0，1－p－q＝0，∴p＝2，q＝－1，所以f(x)＝x3－2x2＋x，进而可求得f(1)是极小值，f13是极大值，故选A.6．B[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为函数有极大值和极小值，所以f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以判别式Δ＝4a2－4×3(a＋6)0，解得a－3或a6.7．D[解析]由f′(x)＝6x2－12x0得x0或x2，由f′(x)0得0x2，∴f(x)在[－2,0]上为增函数，在[0,2]上为减函数．∴x＝0时，f(x)max＝m＝3.又f(－2)＝－37，f(2)＝－5.∴f(x)min＝－37.8．A[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，令f′(x)＝0，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数不存在极值点．9．B[解析]F′(x)＝f′(x)－g′(x)，∴F′(x0)＝f′(x0)－g′(x0)＝f′(x0)－f′(x0)＝0，且xx0时，F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝f′(x)－f′(x0)0，xx0时，F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝f′(x)－f′(x0)0，故x＝x0是F(x)的极小值点，选B.10．2[解析]f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2，当x∈(－∞，0)时，f′(x)0，当x∈(0,2)时，f′(x)0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，显然当x＝2时f(x)取极小值．11．②③[解析]由函数y＝f(x)的导函数的图象可知：(1)f(x)在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上为增函数，在[2,4]上为减函数；(2)f(x)在x＝－1处取得极小值，在x＝2处取得极大值．故②③正确．12．－13[解析]f′(x)＝－x2＋2bx＋c，由f(x)在x＝1处取极值－43，可得f′1＝－1＋2b＋c＝0，f1＝－13＋b＋c＋bc＝－43，学而思网校解得b＝1，c＝－1或b＝－1，c＝3.若b＝1，c＝－1，则f′(x)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2≤0，此时f(x)没有极值；若b＝－1，c＝3，则f′(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，当－3x1时，f′(x)0，当x1时，f′(x)0，∴当x＝1时，f(x)有极大值－43.故b＝－1，c＝3即为所求．13.－∞，65[解析]g(x)＝ax3－3x2＋3ax2－6x＝ax2(x＋3)－3x(x＋2)．当g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(0)时，g(0)≥g(2)，即0≥20a－24，得a≤65.反之，当a≤65时，对任意x∈[0,2]，g(x)≤65x2(x＋3)－3x(x＋2)＝3x5(2x2＋x－10)＝3x5(2x＋5)(x－2)≤0，而g(0)＝0，故g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(0)．综上，a的取值范围为－∞，65.14．[解答](1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.x与f(x)、f′(x)的变化情况如下：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ek－1所以，f(x)的单调递增区间是(k－1，＋∞)；单调递减区间是(－∞，k－1)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0k－11，即1k2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减．所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.15．[解答](1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.①当x＝23时，y＝f(x)有极值，则f′23＝0，可得4a＋3b＋4＝0.②由①②解得a＝2，b＝－4.设切线l的方程为y＝3x＋m.由原点到切线l的距离为1010，得|m|32＋1＝1010，解得m＝±1.∵切线l不过第四象限，∴m＝1.由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4.∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝23.当x变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下表：学而思网校(－3，－2)－2－2，232323，1f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝13，在x＝23处取得极小值f23＝9527，又f(－3)＝8，f(1)＝4，∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.【难点突破】16．[解答](1)∵g(x)＝12(x－1)2＋32，x∈[0,3]，当x＝1时，g(x)min＝g(1)＝32；当x＝3时，g(x)max＝g(3)＝72.故当a＝2时，g(x)在[0,3]上的值域为32，72.(2)f′(x)＝lnx＋1，当x∈0，1e，f′(x)0，f(x)单调递减，当x∈1e，＋∞，f′(x)0，f(x)单调递增．①0tt＋21e，t无解；②0t1et＋2，即0t1e时，f(x)min＝f1e＝－1e；③1e≤tt＋2，即t≥1e时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，f(x)min＝f(t)＝tlnt；所以f(x)min＝－1e，0t1e，tlnt，t≥1e.(3)g′(x)＋1＝x，所以问题等价于证明xlnxxex－2e(x∈(0，＋∞))，由(2)可知f(x)＝xlnx(x∈(0，＋∞))的最小值是－1e，当且仅当x＝1e时取到．设m(x)＝xex－2e(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝1－xex，易得m(x)max＝m(1)＝－1e，当且仅当x＝1时取到，从而对一切x∈(0，＋∞)，都有xlnxg′x＋1ex－2e成立．