2013版高中数学(人教A版)必修4第二章平面向量测试题(含详解)

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网第二章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有下列四个表达式：①|a＋b|＝|a|＋|b|；②|a－b|＝±(|a|－|b|)；③a2|a|2；④|a·b|＝|a|·|b|.其中正确的个数为()A．0B．2C．3D．4解析对于①仅当a与b同向时成立．对于②左边|a－b|≥0，而右边可能≤0，∴不成立．对于③∵a2＝|a|2，∴a2|a|2不成立．对于④当a⊥b时不成立，综上知，四个式子都是错误的．答案A2．下列命题中，正确的是()A．a＝(－2,5)与b＝(4，－10)方向相同B．a＝(4,10)与b＝(－2，－5)方向相反C．a＝(－3,1)与b＝(－2，－5)方向相反D．a＝(2,4)与b＝(－3,1)的夹角为锐角解析在B中，a＝(4,10)＝－2(－2，－5)＝－2b，∴a与b方向相反．答案B3．已知A，B是圆心为C，半径为5的圆上两点，且|AB→|＝5，本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网则AC→·CB→等于()A．－52B.52C．0D.532解析易知△ABC为正三角形，AC→·CB→＝5·5cos120°＝－52，应选A.答案A4．已知向量a＝8＋12x，x，b＝(x＋1,2)，其中x0，若a∥b，则x的值为()A．8B．4C．2D．0解析∵a∥b，∴(8＋12x)×2－x(x＋1)＝0，即x2＝16，又x0，∴x＝4.答案B5．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP→＝2PM→，则AP→·(PB→＋PC→)等于()A.49B.43C．－43D．－49解析M为BC的中点，得PB→＋PC→＝2PM→＝AP→，∴AP→·(PB→＋PC→)＝AP→2.本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网又∵AP→＝2PM→，∴|AP→|＝23|AM→|＝23.∴AP→2＝|AP→|2＝49.答案A6．(2010·广东)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝()A．6B．5C．4D．3解析8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，c＝(3，x)，∴(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝18＋3x.又(8a－b)·c＝30，∴18＋3x＝30，x＝4.答案C7．向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的取值范围是()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－∞，1)解析依题意可设a＋2b＝λa(λ0)，则b＝12(λ－1)a，∴a·b＝12(λ－1)a2＝12(λ－1)×2＝λ－1－1.答案B8．设单位向量e1，e2的夹角为60°，则向量3e1＋4e2与向量e1的夹角的余弦值为()A.34B.537本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网C.2537D.53737解析∵(3e1＋4e2)·e1＝3e21＋4e1·e2＝3×12＋4×1×1×cos60°＝5，|3e1＋4e2|2＝9e21＋16e22＋24e1·e2＝9×12＋16×12＋24×1×1×cos60°＝37.∴|3e1＋4e2|＝37.设3e1＋4e2与e1的夹角为θ，则cosθ＝537×1＝537.答案D9．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC→＝a，BD→＝b，则AF→＝()A.14a＋12bB.23a＋13bC.12a＋14bD.13a＋23b解析如右图所示，AF→＝AD→＋DF→，由题意知，DEBE＝DFBA＝∴DF→＝13AB→.本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网∴AF→＝12a＋12b＋13(12a－12b)＝23a＋13b.答案B10．已知点B为线段AC的中点，且A点坐标为(－3,1)，B点坐标为12，32，则C点坐标为()A．(1，－3)B.－54，54C．(4,2)D．(－2,4)解析设C(x，y)，则由AB→＝BC→，得12－－3，32－1＝x－12，y－32，∴x－12＝72，y－32＝12，⇒x＝4，y＝2，∴C(4,2)．答案C11．已知向量OA→＝(2,2)，OB→＝(4,1)，在x轴上求一点P，使AP→·BP→有最小值，则点P的坐标为()A．(－3,0)B．(2,0)C．(3,0)D．(4,0)解析设OP→＝(x,0)，则AP→＝(x－2，－2)，BP→＝(x－4，－1)，∴AP→·BP→＝(x－2)(x－4)－2×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，∴当x＝3时，AP→·BP→有最小值1，此时P(3,0)．答案C本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网12．下列命题中正确的个数是()①若a与b为非零向量，且a∥b，则a＋b必与a或b的方向相同；②若e为单位向量，且a∥e，则a＝|a|e；③a·a·a＝|a|3；④若a与b共线，又b与c共线，则a与c必共线；⑤若平面内有四点A，B，C，D，则必有AC→＋BD→＝BC→＋AD→.A．1B．2C．3D．4解析易知①②③④均错误，⑤正确，因为AC→＋BD→＝BC→＋AD→，∴AC→－AD→＝BC→－BD→，即DC→＝DC→，∴⑤正确．答案A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(3，3)，且a与b共线，θ∈[0,2π)，则θ＝________.解析由a∥b，得23cosθ＝6sinθ，∵cosθ≠0，∴tanθ＝33，又θ∈[0,2π)，∴θ＝π6或7π6.答案π6或76π14．假设|a|＝25，b＝(－1,3)，若a⊥b，则a＝________.解析设a＝(x，y)，则有x2＋y2＝20.①又a⊥b，∴a·b＝0，∴－x＋3y＝0.②本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网由①②解得x＝32，y＝2，或x＝－32，y＝－2，∴a＝(32，2)，或a＝(－32，－2)．答案(32，2)或(－32，－2)15．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，那么a·b＝________.(其中i，j为夹角90°的单位向量)解析由a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，得a＝－3i＋4j，b＝5i－12j.∴a＝(－3,4)，b＝(5，－12)．∴a·b＝－3×5＋4×(－12)＝－63.答案－6316．(2009·天津高考)若等边△ABC的边长为23，平面内一点M满足CM→＝16CB→＋23CA→，则MA→·MB→＝________.解析∵等边△ABC的边长为23，∴如下图建立直角坐标系．∴CB→＝(3，－3)，CA→＝(－3，－3)．∴CM→＝16CB→＋23CA→＝－32，－52.本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网∴OM→＝OC→＋CM→＝(0,3)＋－32，－52＝－32，12.∴MA→·MB→＝－32，－12·332，－12＝－94＋14＝－2.答案－2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.(1)当m为何值时，c与d垂直？(2)当m为何值时，c与d共线？解(1)令c·d＝0，则(3a＋5b)·(ma－3b)＝0，即3m|a|2－15|b|2＋(5m－9)a·b＝0，解得m＝2914.故当m＝2914时，c⊥d.(2)令c＝λd，则3a＋5b＝λ(ma－3b)即(3－λm)a＋(5＋3λ)b＝0，∵a，b不共线，∴3－λm＝0，5＋3λ＝0，解得λ＝－53，m＝－95.本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网故当m＝－95时，c与d共线．18．(12分)如图所示，在△ABC中，∠C为直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.证明设此等腰直角三角形的直角边长为a，则AD→·CE→＝(AC→＋CD→)·(CA→＋AE→)＝AC→·CA→＋CD→·CA→＋AC→·AE→＋CD→·AE→＝－a2＋0＋a·223a·22＋a2·223a·22＝－a2＋23a2＋13a2＝0，∴AD→⊥CE→，∴AD⊥CE.19．(12分)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|AD→|与点D的坐标．解设D点坐标为(x，y)，则AD→＝(x－2，y＋1)，BC→＝(－6，－3)，BD→＝(x－3，y－2)，本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网∵D在直线BC上，即BD→与BC→共线，∴存在实数λ，使BD→＝λBC→，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．∴x－3＝－6λ，y－2＝－3λ，∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①又∵AD⊥BC，∴AD→·BC→＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0.∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.②由①②可得x＝1，y＝1.∴|AD→|＝1－22＋22＝5，即|AD→|＝5，D(1,1)．20．(12分)在直角坐标系中，已知OA→＝(4，－4)，OB→＝(5,1)，OB→在OA→方向上的射影数量为|OM→|，求MB→的坐标．解设点M的坐标为M(x，y)．∵OB→在OA→方向上的射影数量为|OM→|，∴OM→⊥MB→，∴OM→·MB→＝0.又OM→＝(x，y)，MB→＝(5－x,1－y)，∴x(5－x)＋y(1－y)＝0.本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网又点O，M，A三点共线，∴OM→∥OA→.∴x4＝y－4.∴x5－x＋y1－y＝0，x4＝y－4，解得x＝2，y＝－2.∴MB→＝OB→－OM→＝(5－2,1＋2)＝(3,3)．21．(12分)在四边形ABCD中，AB→＝a，BC→＝b，CD→＝c，DA→＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，判断四边形的形状．解∵a＋b＋c＋d＝0，∴(a＋b)2＝(c＋d)2，∴a2＋2a·b＋b2＝c2＋2c·d＋d2.∵a·b＝c·d，∴a2＋b2＝c2＋d2.①同理a2＋d2＝b2＋c2.②①②两式相减，得b2－d2＝d2－b2，①②两式相加，得a2＝c2，∴|b|＝|d|，|a|＝|c|.∴四边形ABC