立体几何专题突破之《探究性问题》

立体几何专题突破之《探究性问题》考点动向立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力．探究是一种科学的精神，因此，也是命题的热点．一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的．方法范例例１如图８－１，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，P是侧棱1CC上的一点，CPm．（１）试确定m，使直线AP与平面11BDDB所成角的正切值为32；（２）在线段11AC上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，1DQ在平面1APD上的射影垂直于AP，并证明你的结论．解析本题的两问都充满了探究性，问题的情景具有运动变化的特点，此时，只需要确定某一个位置进行推理，其它作类似推理即可．即所谓的化动为静．解法1（1）连AC，设ACBDOAP，与面11BDDB交于点G，连OG．因为PC∥面11BDDB，面11BDDB面APCOG，故OGPC∥．所以122mOGPC．又1AODBAOBB，⊥⊥，所以AO⊥面11BDDB．故AGO即为AP与面11BDDB所成ABCD1A1B1C1D图８－１ABOGＧDCP1A1D1C1O1B图８－２的角．在RtAOG△中，22tan322AGOm，即13m．故当13m时，直线AP与平面11BDDB所成角的正切值为32．（2）依题意，要在11AC上找一点Q，使得1DQAP⊥．可推测11AC的中点1O即为所求的Q点．因为1111111DOACDOAA，⊥⊥，所以11DO⊥面11ACCA．又AP面11ACCA，故11DOAP⊥．从而11DO在平面1ADP上的射影与AP垂直．解法２（1）建立如图８－３所示的空间直角坐标系，则(100)(110)(01)ABPm，，，，，，，，，11(010)(000)(111)(001)CDBD，，，，，，，，，，，．所以1(110)(001)(11)(110)BDBBAPmAC，，，，，，，，，，，．又由100ACBDACBB，知，AC为平面11BBDD的一个法向量．设AP与平面11BBDD所成的角为，则sincos2222APACAPACm．依题意有22232221(32)m，解得13m．故当13m时，直线AP与平面11BDDB所成角的正切值为32．（2）若在11AC上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，则1(11)(10)QxxDQxx，，，，，．依题意，对任意的m要使1DQ在平面1APD上的射影垂直于AP，等价于1110(1)02DQAPAPDQxxx⊥．即Q为11AC的中点时，满足题设要求．AＢＯＤＣＰ1A1D1C1O1Byzx图８－３[规律小结]探究性问题一般具有一定的深度，需要深入分析题目的条件和所问，根据题目的特征，选用适当的解题方法．必要时，进行假设推理，或者反证推理，往往也是进行图形推理与代数推理的典型问题．考点误区分析解答探究性问题，需要主观的意志力，不要见到此类问题先发怵，进行消极的自我暗示，要通过备考阶段的联练习，加强解题信心的培养．确定解题的一般规律，积极的深入分析问题的特征，进而实现顺利解答．同步训练１．两相同的正四棱锥组成如图８－４所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（）．（A）1个（B）2个（C）3个（D）无穷多个２．在正方体''''DCBAABCD中，过对角线'BD的一个平面交'AA于E，交'CC于F，则（）．①四边形EBFD'一定是平行四边形②四边形EBFD'有可能是正方形③四边形EBFD'在底面ABCD内的投影一定是正方形④四边形EBFD'有可能垂直于平面DBB'以上结论正确的为．（写出所有正确结论的编号）３．如图８－５，在三棱锥ABCD中，侧面ABDACD，是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且31ADBDCD，，另一侧面ABC是正三角形．（1）求证：ADBC⊥；ABCD图８－４ABCD图８－５（2）求二面角BACD的大小；（3）在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30角？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．［参考答案］１．［解析］本题相当于一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个；或者两个正四棱锥的高均为12，放入正方体后，面ABCD的面积是不固定的，其范围是1[,1)2．［答案］()D．２．［解析］借助图形及面面平行的性质定理，射影的定义，面面垂直的判定可得．［答案］①③④．３．［答案］（２）6arccos3；（３）线段AC上存在E点，且1CE时符合条件．