独立重复试验与二项分布

2.2.3独立重复试验与二项分布高二数学选修2-3复习引入前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义，这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型，吻合模型用公式去求概率简便.⑴()()()PABPAPB（当AB与互斥时）；⑵()(|)()PABPBAPA⑶()()()PABPAPB（当AB与相互独立时）那么求概率还有什么模型呢？分析下面的试验，它们有什么共同特点？⑴投掷一个骰子投掷5次;⑵某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击10次;⑶实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）;⑷一个盒子中装有5个球（3个红球和2个黑球），有放回地依次从中抽取5个球;⑸生产一种零件，出现次品的概率是0.04,生产这种零件4件.共同特点是:多次重复地做同一个试验.共同特点：1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生；2）任何一次试验中，事件A发生的概率相同，即相互独立，互不影响试验的结果。像这样的，在相同的条件下，重复的做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么就称它们为n次独立重复试验基本概念在n次独立重复试验中，记iA是“第i次试验的结果”显然，12()nPAAA=∵“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响,∴上面等式成立.12()()()nPAPAPA探究投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q=1-p.连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是多少？连续掷一枚图钉3次，就是做3次独立重复试验。用表示第i次掷得针尖向上的事件，用表示“仅出现一次针尖向上”的事件，则(1,2,3)iAi1B1123123123()()().BAAAAAAAAA由于事件彼此互斥，由概率加法公式得123123123,AAAAAAAAA和1123123123()()()()PBPAAAPAAAPAAA22223qpqpqpqp所以，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是23.qp思考？上面我们利用掷1次图钉，针尖向上的概率为p，求出了连续掷3次图钉，仅出现次1针尖向上的概率。类似地，连续掷3次图钉，出现次针尖向上的概率是多少？你能发现其中的规律吗？(03)kk33(),0,1,2,3.kkkkPBCpqk仔细观察上述等式，可以发现30123()(),PBPAAAq21123123123()()()()3,PBPAAAPAAAPAAAqp22123123123()()()()3,PBPAAAPAAAPAAAqp33123()().PBPAAAp在n次试验中，有些试验结果为A，有些试验结果为A，所以总结果是几个A同几个A的一种搭配，要求总结果中事件A恰好发生k次，就是k个A同n－k个A的一种搭配，搭配种类为Ckn；其次，每一种搭配发生的概率为pk·(1－p)n－k，所以P(ξ＝k)＝Cknpk(1－p)n－k.基本概念2、二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为()(1),0,1,2,...,.kknknPXkCppkn此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p),并称p为成功概率。X01…k…np……00nnCpq111nnCpqkknknCpq0nnnCpq二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？1．两点分布是特殊的二项分布(1)p2．一个袋中放有M个红球，(NM)个白球，依次从袋中取n个球，记下红球的个数.⑴如果是有放回地取，则(,)MBnN⑵如果是不放回地取,则服从超几何分布.()(0,1,2,,)knkMNMnNCCPkkmC(其中min(,)mMn问题探究1．甲、乙、丙三人分别射击同一个目标，都是“中”与“不中”两种结果，是三次独立重复试验吗？提示：不是，因甲、乙、丙三人击中的概率不一定相同，只是独立事件，但不符合独立重复试验．10.8.10,18;28.(.)例某射手射击击中目标的概率是求这名射手在次射击中恰有次击中目标的概率至少有次击中目标的概率结果保留两位有效数字.8.0,10B~X,X则为击中目标的次数设解.30.08.018.0C8XP8,1018108810次击中目标的概率为恰有次射击中在10XP9XP8XP8XP8,102次击中目标的概率为至少有次射击中在1010101010910991081088108.018.0C8.018.0C8.018.0C.68.0某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位)(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率；(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率．(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率。例2【思路点拨】由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(或准确或不准确)，符合独立重复试验模型．【解】(1)记“预报一次准确”为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验．“2次准确”的概率为P＝C25×0.82×0.23＝0.0512≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝C05×0.25＋C15×0.8×0.24＝0.00672.所以所求概率为1－P＝1－0.00672≈0.99.所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.（3）“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为1414230.80.8(10.8)40.80.20.02PC【思维总结】解答此类题目，首先分析随机变量是否满足独立重复试验概型的条件，再利用Pn(k)＝Cknpk·(1－p)n－k计算即可．例1.某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5(相互独立)．(1)求至少3人同时上网的概率；(2)至少几个人同时上网的概率小于0.3?解：(1)记“至少3人同时上网”为事件A，则P(A)＝C36(0.5)6＋C46(0.5)6＋C56(0.5)6＋C66(0.5)6＝2132.(2)至少4人同时上网的概率为C46(0.5)6＋C56(0.5)6＋C66(0.5)6＝1132＞0.3.至少5人同时上网的概率为C56(0.5)6＋C66(0.5)6＝764＜0.3，故至少5人同时上网的概率小于0.3.二项分布问题某厂工人在2011年里有1个季度完成生产任务，则得奖金300元；如果有2个季度完成生产任务，则可得奖金750元；如果有3个季度完成生产任务，则可得奖金1260元；如果有4个季度完成生产任务，可得奖金1800元；如果工人四个季度都未完成任务，则没有奖金，假设某工人每季度完成任务与否是等可能的，求他在2011年一年里所得奖金的分布列．例1【思路点拨】本题实际上是二项分布问题，奖金数为随机变量，事实上它正好对应事件发生的次数．【解】该工人在2011年一年里所得奖金为X，则X是一个离散型随机变量，由于该工人每季度完成任务与否是等可能的，所以他每季度完成任务的概率等于12，所以P(X＝0)＝C04120124＝116，P(X＝300)＝C14121123＝14，P(X＝750)＝C24122122＝38，P(X＝1260)＝C3412312＝14，P(X＝1800)＝C44124120＝116.∴其分布列为X030075012601800P116143814116【思维总结】二项分布是一种常见的重要的离散型随机变量分布列，其概率Pn(k)(k＝0,1,2,3，…，n)就是n次独立重复实验中事件A发生k次的概率为Cknpk(1－p)n－k.概率知识的综合应用例3在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为12.(1)其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的学生数为ξ，求ξ的分布列．【思路点拨】设出事件→利用独立事件求概率→写出随机变量的可能取值→求相应概率→列出ξ的分布列【解】(1)设事件A表示“甲选做14题”，事件B表示“乙选做14题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB＋AB”且事件A、B相互独立．∴P(AB∪AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝12×12＋(1－12)×(1－12)＝12.(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4.且ξ～B(4，12)．∴P(ξ＝k)＝Ck4(12)k(1－12)4－k＝Ck4(12)4(k＝0,1,2,3,4)．所以变量ξ的分布列为ξ01234P116143814116【思维总结】本题考查了互斥事件至少有一个发生的概率，相互独立事件的概率以及二项分布的有关知识，解答此类题目的关键在于分清各知识点的内在区别与联系．变式训练3一名学生骑自行车上学，从他到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)设X为这名学生在途中遇到的红灯次数，求X的分布列；(2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．解：(1)将遇到每个交通岗看作一次试验，遇到红灯的概率都是13且每次试验结果相互独立，故X～B(6，13)，所以X的分布列为P(X＝k)＝Ck6·(13)k·(23)6－k(k＝0,1,2，…，6)．∴X的分布列如下：X0123456P6472964243802431607292024342431729(2)η＝k(k＝0,1,2，…，5)表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k＋1个路口遇上红灯，其概率为P(η＝k)＝(23)k·13，η＝6表示一路没有遇上红灯，故其概率为P(η＝6)＝(23)6，所以η的分布列为η0123456P1329427881162433272964729(3)所求概率为P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(23)6＝665729.方法感悟方法技巧1．独立重复试验必须具备的条件(1)每次试验的条件完全相同，有关事件的概率不变；(2)各次试验结果互不影响，即每次试验相互独立；(3)每次试验只有两种结果，这两种可能的结果是对立的．2．独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“恰好”“恰有”字样的问题，用独立重复试验的概率公式计算更简单．如例1及变式训练1失误防范1．如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，应注意字母n、p、k的意义．2．独立重复试验是相互独立事件的特例，注意二者的区别．如例2:,4,..们还可以提这样的问题我中在上面的例例如探究是很有意义的些问题的对与两项分布有关的一概率模型的离散型随机变量二项分布是应用最广泛?,10,,8.0最有可能击中目标几次射击中次那么它在立每次射击的结果相互独中目标的概率如果某射手每次射击击.8.0,10B~X,.X,10此因果是相互独立的于射击中每次射击的结由击中目标的次数为次射击中设他在从而次击中目标的概率为于是可得他恰好.10k0,2.08.0CkXPkk10kk102.0kk8.01112.0k8.01k101kXPkXP;kXP1kXP,8.8k,.10k0当于是.kXP1kXP,8.8k时当.8,10,击中目标次最有可能次射击中他在由以上分析可知?kXP,k?kXP,n0k,1p0,p,nB~X最大