函数的单调性与导数习题课

基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练§3.3导数在研究函数中的应用§3.3.1函数的单调性与导数基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练[课标解读］1.理解导数与函数的单调性的关系.(易错点）2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.(重点）3.会用导数求函数的单调区间.(重点、难点）基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练[基础整合］1.函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b）内的函数y＝f(x）基础知识整合f′(x）的正负f(x）的单调性f′(x）0单调递____f′(x）0单调递_____增减基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x），在区间(a，b）上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大______比较“____”(向上或向下）越小______比较“____”(向上或向下）快慢陡峭平缓基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练[要点探究］知识点导数与函数的单调性探究1：观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导函数正负的关系.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练典型题例探究题型一函数与导函数的图象[例1］已知函数y＝xf′(x）的图象如图所示(其中f′(x）是函数f(x）的导函数），下列四个图象中为y＝f(x）的大致图象的是基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练【自主解答】由题图知：当x－1时，xf′(x）0，∴f′(x）0，函数y＝f(x）单调递增；当－1x0时，xf′(x）0，∴f′(x）0，函数y＝f(x）单调递减；当0x1时，xf′(x）0，f′(x）0，函数y＝f(x）单调递减；当x1时，xf′(x）0，∴f′(x）0，y＝f(x）单调递增.【答案】C基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练[规律总结］研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素：对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练变式训练1.设f′(x）是函数f(x）的导数，y＝f′(x）的图象如图所示，则y＝f(x）的图象最有可能是基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练解析由导函数图象知：当x∈(－∞，－1）时，f′(x）＜0，故f(x）在(－∞，－1）上单调递减；当x∈(－1，1）时，f′(x）＞0，故f(x）在(－1，1）上单调递增；当x∈(1，＋∞）时，f′(x）＜0，故f(x）在(1，＋∞）上单调递减.故选B.答案B基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练题型二利用导数求函数的单调区间[例2］求下列函数的单调区间：(1）f(x）＝3x－x3；(2）f(x）＝3x2－2lnx.【自主解答】(1）∵f′(x）＝3－3x2＝－3(x＋1）(x－1），解法一当f′(x）＞0，即－1＜x＜1时，函数f(x）＝3x－x3单调递增；当f′(x）＜0，即x＜－1或x＞1时，函数f(x）＝3x－x3单调递减.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练所以函数f(x）＝3x－x3的单调递增区间为(－1，1），单调递减区间为(－∞，－1）和(1，＋∞）.解法二令f′(x）＝0，得x＝－1或x＝1.当x＜－1时，f′(x）＜0；当－1＜x＜1时，f′(x）＞0；当x＞1时，f′(x）＜0.所以函数f(x）＝3x－x3的单调递增区间为(－1，1），单调递减区间为(－∞，－1）和(1，＋∞）.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练(2）函数的定义域为(0，＋∞）.∵f′(x）＝6x－2x＝6x2－13x＝6x＋33x－33x，又∵x＞0，∴令f′(x）＝0，得x＝33.当0＜x＜33时，f′(x）＜0；当x＞33时，f′(x）＞0.所以函数f(x）＝3x2－2lnx的单调递增区间为33，＋∞，单调递减区间为0，33.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练[规律总结］求函数y＝f(x）单调区间的步骤(1）确定函数y＝f(x）的定义域.(2）求导数y′＝f′(x）.(3）解不等式f′(x）0，解集在定义域内的部分为增区间.(4）解不等式f′(x）0，解集在定义域内的部分为减区间.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练变式训练2.求下列函数的单调区间：(1）f(x）＝12x＋sinx，x∈(0，2π）；(2）f(x）＝2x－lnx.解析(1）∵f′(x）＝12＋cosx，∴令f′(x）0得12＋cosx0，即cosx－12.又∵x∈(0，2π），∴0x23π或43πx2π.同理，令f′(x）0，得23πx43π.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练∴该函数的单调递增区间为0，23π，43π，2π；单调递减区间为23π，43π.(2）函数的定义域为(0，＋∞），其导函数为f′(x）＝2－1x.令2－1x0，解得x12；令2－1x0，解得0x12，∴该函数的单调递增区间为12，＋∞，单调递减区间为0，12.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练题型三利用导数求参数的取值范围[例3］(1）已知函数f(x）＝x3－kx在区间(－3，－1）上不单调，则实数k的取值范围是________.(2）若函数f(x）＝13x3－12ax2＋(a－1）x＋1在区间(1，4）内为减函数，在区间(6，＋∞）上为增函数，试求实数a的取值范围.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练【自主解答】(1）因为f′(x）＝3x2－k.当k≤0时，f′(x）≥0，不合题意，舍去，所以k0.令f′(x）＝0，则x＝±k3.因为在(－3，－1）上函数不单调，所以－3－k3－1，即3k27.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练(2）函数求导得f′(x）＝x2－ax＋a－1＝(x－1）[x－(a－1）］，令f′(x）＝0得x＝1或x＝a－1，因为函数在区间(1，4）内为减函数，所以当x∈(1，4）时，f′(x）≤0，又因为函数在区间(6，＋∞）上为增函数，所以当x∈(6，＋∞）时，f′(x）≥0，所以4≤a－1≤6，所以5≤a≤7，即实数a的范围为[5，7］.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练[规律总结］1.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1）将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x）≥0(或f′(x）≤0）恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意.(2）先令f′(x）0(或f′(x）0），求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时，f(x）是否满足题意.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练2.恒成立问题的重要思路(1）m≥f(x）恒成立⇒m≥f(x）max.(2）m≤f(x）恒成立⇒m≤f(x）min.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练变式训练3.若函数f(x）＝x3－ax2＋1在[0，2］内单调递减，求实数a的取值范围.解析f′(x）＝3x2－2ax＝x(3x－2a）.①当a＝0时，f′(x）≥0，故y＝f(x）在(－∞，＋∞）上单调递增，与y＝f(x）在[0，2］内单调递减不符，舍去.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练②当a0时，由f′(x）≤0得23a≤x≤0，即f(x）的减区间为23a，0，与y＝f(x）在[0，2］内单调递减不符，舍去.③当a0时，由f′(x）≤0得0≤x≤23a，即f(x）的减区间为0，23a.由y＝f(x）在[0，2］内单调递减得23a≥2得a≥3.综上可知，a的取值范围是[3，＋∞）.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练学习短板补救易错误区(九）误用函数单调递增(减）的充要条件致误典例剖析[典例］已知函数f(x）＝ax＋1x＋2在(－2，＋∞）内单调递减，则实数a的取值范围为________.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练【解析】因为f(x）＝ax＋1x＋2，所以f′(x）＝2a－1（x＋2）2.由函数f(x）在(－2，＋∞）内单调递减知f′(x）≤0在(－2，＋∞）内恒成立，即2a－1（x＋2）2≤0在(－2，＋∞）内恒成立，因此a≤12.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练当a＝12时，f(x）＝12，此时函数f(x）为常数函数，故a＝12不符合题意舍去.所以a的取值范围为a12.故实数a的取值范围为－∞，12.【答案】－∞，12基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练[易错防范］1.没有对a＝12进行验证，不能正确理解导数小于0是函数递减的充分条件，进而导致范围扩大的错误.2.函数f(x）在区间D上单调递增(或递减）的充要条件是f′(x）≥0(或f′(x）≤0）且f′(x）在区间D任一子区间上不恒为零.本例中利用f′(x）≤0构造关于参数a的不等式，求得a的范围，再验证等号成立时，f(x）是否符合要求.基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练典题试解设函数f(x）＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞）内是增函数，则实数a的取值范围是________.解析f′(x）＝3x2＋a，∵f(x）在(1，＋∞）内是增函数，∴3x2＋a≥0对x∈(1，＋∞）恒成立.即a≥－3x2对x∈(1，＋∞）恒成立.又－3x2－3，∴a≥－3.答案[－3，＋∞）基础知识整合第三章导数及其应用A·数学·选修1-1菜单典型题例探究学习短板补救综合能力训练本讲结束请按ESC键返回综合能力训练