2.2.1综合法和分析法(2)

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2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法(2)•理解分析法的概念,了解分析法的思考过程和特点,能熟练地运用分析法证题.•本节重点:(1)了解分析法的思考过程和特点;(2)运用分析法证明数学问题。本节难点:对分析法的思考过程和特点的概括.学习目标:重点难点:一般地,利用已知条件和某些已经学过的定义、定理、公理等,经过一系列的推理、论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。特点:“由因导果”复习回顾基本不等式:(a0,b0)的证明.a+bab2证明:因为;所以所以所以成立()b20a20a+bab2a+baba+bab2证明:要证;只需证;只需证;只需证;因为;成立所以成立a+bab22a+bab20a+bab()b20a()b20aa+bab2一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中,使每一步结论成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明的方法叫做分析法.特点:执果索因.用框图表示分析法的思考过程、特点.1QP23PP12PP得到一个明显成立的结论…例2求证5273证明:因为73和52都是正数,所以要证5273只需证22)52()73(展开得2021210只需证只需证5212521因为2521成立,所以5273成立.•[点评](1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论;•(2)分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式;•(3)用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语.练习:P89第2题练习:•求证),1(11*Nnnnnnn证明:nnnn11要证只需证112nnn只需证12242nnn即证12nn因为1n12nn成立所以nnnn11成立.显然证法2要证nnnn11只需证nnnn1111只需证nnnn11只需证11nn上式显然成立.所以nnnn11成立.练习:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证AF⊥SCFESCBA证明:要证AF⊥SC只需证:SC⊥平面AEF只需证:AE⊥SC只需证:AE⊥平面SBC只需证:AE⊥BC只需证:BC⊥平面SAB只需证:BC⊥SA只需证:SA⊥平面ABC因为:SA⊥平面ABC成立所以.AF⊥SC成立•例3△ABC的三个内角A、B、C成等差数列,A、B、C的对边分别为a、b、c.•[分析]条件与结论跨越较大,不易下手,可考虑用分析法证明;由于分析法是执果索因,逐步寻找成立的充分条件,因此分析法的倒退过程就是综合法.求证:1a+b+1b+c=3a+b+c.只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),只需证c2+a2=ac+b2,又因为角A、B、C成等差数列,所以B=60°,[证明]分析法:要证1a+b+1b+c=3a+b+c,只需证a+b+ca+b+a+b+cb+c=3,只需证ca+b+ab+c=1,•由余弦定理,有•b2=c2+a2-2accos60°,即b2=c2+a2-ac,•故c2+a2=ac+b2得证.•综合法:•证明:∵△ABC三内角A、B、C成等差数列,•∴B=60°.•由余弦定理,有b2=c2+a2-2cacos60°,•得c2+a2=ac+b2,•等式两边同时加上ab+bc得•c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),所以1a+b+1b+c=3a+b+c成立等式两边同除以(a+b)(b+c)得,ca+b+ab+c=1,∴ca+b+1+ab+c+1=3,即1a+b+1b+c=3a+b+c.作业:P91A组3,B组3小结:教师引导学生总结分析法的思考过程和特点,关注用分析法证题时可能出现的错误.思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、乙、丙三箱原有小球数甲:208个,乙:112个,丙:64个

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