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SL精编文档高中数学必修2第二章立体几何检测题第1页共6页必修2第二章立体几何检测题(时间90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)1．设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是()A．若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥αB．若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂αC．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β解析：对于选项D，当直线m位于平面β内且与平面α、β的交线平行时，直线m∥α，显然m与平面β垂直．因此选项D不正确．答案：D2．若直线a与平面α不垂直，那么平面α内与直线a垂直的直线有()A．0条B．1条C．无数条D．不确定解析：平面α内与a垂直的有无数条直线．答案：C3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线AA1与BC1所成的角为()A．60°B．45°C．30°D．90°解析：∵AA1∥BB1，∴异面直线AA1与BC1所成角即为∠B1BC1，为45°.答案：B4．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．ACB．BDC．A1DD．A1D1解析：CE⊂平面ACC1A1，而BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面ACC1A1，∴BD⊥CE.答案：B5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④SL精编文档高中数学必修2第二章立体几何检测题第2页共6页解析：①错，只有一个平面内有两条相交直线与另一个面平行时，才能得出这两个面互相平行．③错，比如a⊥α，b⊂α，c⊂α，显然有a⊥b，a⊥c，但b与c也可能相交．故②④正确．答案：D6．已知α—l—β是一个大小确定的二面角，若a，b是空间两条直线，则能使a与b所成的角为定值的一个条件是()A．a∥α，且b∥βB．a∥α，且b⊥βC．a⊥α，且b∥βD．a⊥α，且b⊥β解析：由于直线与平面平行时，直线在空间的方向不确定，所以当一条直线确定，而另一条直线的方向可以变化时，它们所成的角也可能发生变化，所以排除A、B、C，选D.答案：D7．在空间中，设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给定下列条件：①α⊥β且m⊂β；②α∥β且m⊥β；③α⊥β且m∥β；④m⊥n且n∥α.其中可以判定m⊥α的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：只有②可推出m⊥α.答案：A8．下图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是()解析：B中AB与CD成60°角，C中AB与CD成45°角，D中AB与CD所成角的正切值为2，A中设CD所在的正方形另一对角线为BE，易证CD⊥面ABE，故应选A.答案：A9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论SL精编文档高中数学必修2第二章立体几何检测题第3页共6页正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：易知：△BCD中，∠DBC＝45°，∴∠BDC＝90°，又平面ABD⊥平面BCD，而CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，∴AB⊥CD，而AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD.答案：D10．已知：平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD的长度()A．13B.151C．123D．15解析：如图，连AD.∵α⊥β，∴AC⊥β，DB⊥α，在Rt△ABD中，AD＝AB2＋BD2＝42＋122＝160.在Rt△CAD中，CD＝AC2＋AD2＝32＋160＝13.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中横线上)11．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD一定是___．解析：如图，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.∵PC⊥BD，∴BD⊥平面PAC，∴AC⊥BD.答案：菱形12．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系是______．解析：由平面BCC1B1⊥面ABCD知MN⊥面ABCD.SL精编文档高中数学必修2第二章立体几何检测题第4页共6页∴MN⊥AB.答案：垂直13．如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论①AC⊥SB②AB∥平面SCD③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角④AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角．其中，正确结论的序号是________．解析：易知结论①②正确，③中，SA与平面ABD所成的角就是∠SAD，SC与平面ABD所成的角就是∠SCD，易知这两个角相等．④中，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．答案：①②③14．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A—BD—C，有如下三个结论．①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；说法正确的命题序号是________．解析：如图所示，①取BD中点E，连接AE，CE，则BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC⊂平面AEC，故AC⊥BD，故①正确．②设正方形的边长为a，则AE＝CE＝22a.由①知∠AEC＝90°是直二面角A—BD—C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a，∴△ACD是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB与平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°，所以③不正确．答案：①②三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)SL精编文档高中数学必修2第二章立体几何检测题第5页共6页15．(本小题满分12分)(2011·江苏高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.证明：(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.16．(本小题满分12分)(2011·烟台调研)如图，在矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥平面BCE；(2)求证：AE∥平面BFD.证明：(1)∵AD⊥平面ABE，AD∥BC∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC又∵BF⊥平面ACE，∴AE⊥BF∴AE⊥平面BCE.(2)依题意可知：G是AC的中点，∵BF⊥平面ACE，∴CE⊥BF.又BC＝BE，∴F是EC的中点．在△AEC中，连接FG，则FG∥AE.又AE⊄平面BFD，FG⊂平面BFD，∴AE∥平面BFD.17．(本小题满分12分)底面是平行四边形的四棱锥P—ABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.，问：在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．解：如图所示，连接BD交AC于点O，连接OE，过点B作OE的平行线交PD于点G，过SL精编文档高中数学必修2第二章立体几何检测题第6页共6页点G作GF∥CE交PC于点F，连接BF.∵BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴BG∥平面AEC.同理GF∥平面AEC，又BG∩GF＝G，∴平面BFG∥平面AEC，BF⊂平面BFG.∴BF∥平面AEC.下面求点F在PC上的具体位置：∵BG∥OE，O是BD的中点，∴E是GD的中点．又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE的中点．而GF∥CE，∴F为PC的中点．综上可知，存在点F，当点F是PC的中点时，BF∥平面AEC.18．(本小题满分14分)(2011·浙江金华)如图1所示的等边△ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC、BC边的中点．现将△ABC沿CD折叠成如图2所示的直二面角A—DC—B.(1)试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求四面体A—DBC的外接球体积与四棱锥D—ABFE的体积之比．解：(1)如图所示，∵E、F分别为AC、BC的中点，∴AB∥EF，∵AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，∴AB∥平面DEF.(2)以DA，DB，DC为棱补成一个长方体，则四面体A—DBC的外接球即为长方体的外接球．设球的半径为R，则a2＋a2＋3a2＝(2R)2，∴R2＝54a2，于是球的体积V1＝43πR3＝556πa3.又VA—BDC＝13S△BDC·AD＝36a3，VE—DFC＝13S△DFC·12AD＝324a3，∴V1VD－ABFE＝V1VA—BDC－VE—DFC＝2015π9.