10-变分法

弹性理论问题需要解一系列偏微分方程组，并满足边界条件，这在数学上往往遇到困难。因此需要寻求近似的解法。变分法的近似解法是常用的一种方法。在数学上，变分问题是求泛函的极限问题。在弹性力学里，泛函就是弹性问题中的能（功），变分法是求能量（功）的极值，在求极值时得到弹性问题的解，变分问题的直接法使我们比较方便地得到近似解。本章首先给出计算形变势能的表达式。利用功与能的关系，主要介绍了位移变分法和应力变分法。13微分提法——从研究弹性体内一个小微元入手,考虑它的平衡、变形和材料性质，建立起一组弹性力学的基本微分方程，把弹性力学问题归结为在给定约束条件下求解这组偏微分方程的边值问题。变分提法——直接处理整个弹性系统􀁡考虑该系统的能量关系，建立一些泛函变分方程，把弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻）值的变分问题。（能量法）弹性力学问题从微元入手，建立基本微分方程；在给定边界条件下求解微分方程的边值问题考虑整个系统的能量关系，建立泛函变分方程在给定约束条件下，求泛函极值的变分问题4欧拉法:（将变分方程转化为微分方程）早期以欧拉􀁡Euler,L.􀁡为代表的研究工作,把变分方程转化为相应的微分方程来求解。这些研究阐明了弹性力学变分提法和微分提法间的相互联系,并能从统一的前提,泛函表达式,出发同时导出给定问题的域内微分方程和与之匹配的全套边界条件,具有重要的理论意义。如果所得微分方程有解,则可由此间接地求得变分问题的精确解直解接：（直接求解变分方程）李兹法􀁡Ritz,W.、迦辽金等人提出的直接求解变分方程的各种近似解法。目前在直接解法及其各种推广形式(例如有限单元法)的基础上已发展出一批数值计算方法，又出现了把尚未解开的微分方程转化为相应的变分方程来求解的趋势。第十章能量原理与变分法§10-1弹性体的变形比能与形变势能§10-3位移变分法§10-4应力变分方程与应力变分方法1§10-2位移变分方程与极小势能原理§10-1弹性体的变形比能与形变势能一变形比能在复杂应力状态下，设弹性体受有全部六个应力分量。根据能量守恒定理，形变势能的多少与弹性体受力的次序无关，而完全确定于应力及形变的最终大小。从而有弹性体的形变势能密度或比能：xyzxyzzyx,,,,,12xxyyzzyzyzzxzxxyxy2或01d2ijijijijij22222212212xyzyzzxxyyzzxxyE比能用应力分量表示比能用应变分量表示2222222121122xyzyzzxxyEe其中zyxe因此，我们有比能对应力分量的偏导,,xyzxyz,,yzzxxyyzzxxy3,,yzzxxyyzzxxy,,xyzxyz比能对应变分量的偏导8应变余能的概念以一维应力状态为例，实际是应力应变曲线下的面积（不限于线弹性）0dxxx定义0'dijijij为单位体积的应变余能，在一维情况下为0'dxxxεxσxdεxOdσx9dijijij()ijVUvdVU0()ijijijijvv应变能密度ijijv弹性关系应变余能（类似应变能）定义ccVUvdV应变余能密度0ijcijijv单位体积的应变余能vc与积分路径无关，只与终止状态和初始状态有关vc=ijij为全微分cijijv逆弹性关系10且vε+vc=ijij0ijijijvdijijijijijd0ijijcv当材料为线弹性时12cijijvvcijijVvvdV()()ijcijvv但,各向同性线性材料，应力——应变关系ijkkijijE21111应变余能没有明显的物理意义，在一维情况下，表示应力应变曲线在应力一侧下的面积。1应变余能与应变能互补'xx2应变余能的积分式中，积分变量为应力分量3在线弹性时，应变余能与应变能相等εxσxdεxOdσx12Chapter10.1v和vc满足如下互余关系应力应变关系：线弹性体：cijijvv;cijijijijvv12ijijijcijvvcvv,,yzzxxyyzzxxy,,xyzxyz比能对应变分量的偏导二形变势能由于应力分量和形变分量，进而比能都是位置坐标的函数，所以整个弹性体的形变势能为：UUdxdydz将比能的三种表达形式代入，得形变势能的三种积分形式4zyxyuxvxwzuzvywzwyvxuzwyvxuEUddd21212121)1(22222222将几何方程代入，形变势能还可用位移分量来表示dxdydzUxyxyzxzxyzyzzzyyxx21dxdydzeEUxyzxyzzyx222222221211222222212221xyzyzzxxyyzzxxyUEdxdydz515dVEUllkkijV21)1(2221(1)2ijkkllVUdVEU=U(ui)应变能是位移的函数U和Uc分别是物体应变场和应力场的单值泛函，与变形历史无关16他们本身是弹性体各点的函数,U这样的积分依赖于这些函数取得不同的数值,这样的积分通常称为泛函.一般的函数只依赖于自变量的值.这里u=u(x,y,z),v=v(x,y,z),w=w(x,y,z)zyxyuxvxwzuzvywzwyvxuzwyvxuEUddd21212121)1(22222222一变分及其性质高等数学我们学过微分的概念，微分是变量的增量。那么什么是变分呢？变分是函数的增量，通常用δ表示。变分具有以下的性质：SuudSuxxuwuwudδδδδδδ)(δ§10-2位移变分方程与极小势能原理618弹性体的虚功原理一、真实状态与可能状态弹性力学的基本关系分为三类􀁡反映变形后物体内及边界上的连续性要求。包括几何方程和位移边界条件，变形关系中只出现几何量，与力学量无关。反映载荷作用下各微元以及整个物体都应处于平衡状态的要求。包括平衡方程和力边界条件，静力关系中只出现力学量，与几何量无关。即本构方程。反映物体材料的力学性能，把力学量与几何量联系起来。变形关系静力关系本构关系19真实状态——同时满足弹性力学全部基本关系的状态（相应理论体系下的精确解）􀁡可能状态——满足部分基本关系的状态。可能状态变形可能状态——满足变形关系而不管它是否满足静力和本构关系的任何变形状态.静力可能状态——满足静力关系而不管它是否满足变形和本构关系的任何平衡状态.前面各章都致力于直接寻找同时满足弹性力学全部基本关系的真实状态。本章分两步来处理：首先寻找满足部分基本关系的可能状态，然后再从可能状态中寻找满足全部基本关系的真实状态。能量原理中的可能状态：20①变形可能状态或运动可能状态：满足变形关系，而不管它是否满足静力关系和本构关系的任何变形状态。用右上角加(k)来表示。描述变形可能状态的基本量是变形可能位移和变形可能应变。kiukij21Chapter10.1经典能量原理中的可能状态有两类：可能位移：应连续，且满足给定的位移边界条件；可能应变：和可能位移应满足几何方程。变形可能状态有无穷多个，其中只有一个能同时满足弹性力学全部基本关系，它就是真实变形状态。真实变形状态是由物体所受载荷引起的，变形可能状态则与给定载荷没有必然的因果关系。虚位移：从某一可能位移到相邻的另一可能位移的微小位移变化，记作kiu22②静力可能状态：满足静力关系（平衡方程和给定的力边界条件），而不管它是否满足变形关系和本构关系的任何平衡状态。用右上角加(s)的符号表示，如静力可能状态也有无穷多个，其中只有一个能同时满足弹性力学全部基本关系，它就是真实状态。虚应力：可能应力场的变分sijsij231.静力可能状态设满足kij,0kijjiXkijjinXInV内InS上静力可能的应力1）静力可能的状态有无穷多个，其中只有一个能同时满足弹性力学全部基本关系，它就是真实状态。2）静力可能的应力未必是真实的应力，真实应力还必须满足以应力表示的应变协调方程，而真实的应力必然是静力可能的应力。3）静力可能状态一般不涉及材料性质和应变分布，可以用给定的弹性本构关系和静力可能应力去计算静力可能应变它不一定是协调的应变场，因而一般没有相应的位移场。kijkij242.变形可能状态设满足kiu)(21)(,)(,)(kijkjikijuukiuuInV内InSu上1)变形可能的状态有无穷多个,其中只有一个能同时满足弹性力学全部基本关系,它就是真实状态。2)变形可能的位移未必是真实的位移,真实位移还须在体内满足以位移表示的平衡方程及在S上满足位移表示的静力边界条件,而真实的位移必然是变形可能的位移。3)变形可能状态一般不涉及材料性质和应力分布,可以用给定的本构关系和变形可能应变去计算相应的应力场(变形可能应力)。它不一定与给定外载相平衡,因为它们之间没有因果关系。kijkij251、可能位移ui(k)和可能应变ij(k)：可能位移ui(k)：在V内连续且可微，在su上满足ikiuu)(可能应变ij(k)：)(21)(,)(,)(kijkjikijuu由ui(k)通过几何方程导出的26可能应力ij(k)：在V内满足ij,j(k)+fi=0在s上满足2、可能应力ij(k)：()kijijXn满足静力方程3、虚位移ui和虚应变ij两种可能位移ui(k1)和ui(k2)之差称为虚位移ui，而由两种可能位移状态对应的可能应变ij(k1)、ij(k2)之差ijij=(ui,j+uj,i)/2在V内ui=0在su上满足齐次位移边界条件。274、虚应力ij：ij=ij(k1)-ij(k2)；在V内：ij,j=0；在s上:njij=0；满足齐次静力方程。28内容小结1.能量法的基本思想:1)在所有可能的解中,求出最接近于精确解的解;或者,为在真实解附近寻求最接近于精确解的近似解。2)将定解问题转变为求解线性方程组。2.弹性体的形变势能的4种形式1)一般形式12xxyyzzyzyzzxzxxyxyUdxdydz若用张量表示形变比能整体形变势能01d2ijijijijij12ijijUdxdydzdxdydz292.应力分量表示形式22222212221xyzyzzxxyyzzxxy