数列求和(有答案)

专题三数列第一部分专题突破方略第二讲数列求和及综合应用主干知识整合1．等差、等比数列的求和公式(1)等差数列前n项和公式：Sn＝na1＋nn－12·d＝na1＋an2.(2)等比数列前n项和公式：①q＝1时，Sn＝na1；②q≠1时，Sn＝a11－qn1－q.2．数列求和的方法技巧(1)转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．(2)错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．3．数列的应用题(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将文字语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型{an}，利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式求解．高考热点讲练裂项相消求和例1已知正数数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的正整数n满足2Sn＝an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝1an·an＋1，求数列{bn}的前n项和Bn.【解】(1)已知2Sn＝an＋1，将n＝1代入得a1＝1，将2Sn＝an＋1两边同时平方得4Sn＝(an＋1)2，①①式中n用n－1代入得4Sn－1＝(an－1＋1)2(n≥2)，②①－②，得4an＝(an＋1)2－(an－1＋1)2，所以0＝(an－1)2－(an－1＋1)2即[(an－1)＋(an－1＋1)]·[(an－1)－(an－1＋1)]＝0，又因为{an}为正数数列，所以an－an－1＝2，所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－1.(2)由bn＝1an·an＋1＝12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1，所以Bn＝121－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝n2n＋1.【归纳拓展】对an＝12n－12n＋1型的式子，一般要拆成相邻两项的差，即an＝1212n－1－12n＋1，再相加求和时可消去中间项，求得结果．这一类题解决的关键是要正确拆分，要注意观察确定拆分后项的系数以及相消后的剩余项．变式训练1已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn＝1a2n－1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋an2，所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．(2)因为an＝2n＋1，所以a2n－1＝4n(n＋1)，因此bn＝14nn＋1＝141n－1n＋1.故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝141－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝141－1n＋1＝n4n＋1，所以数列{bn}的前n项和Tn＝n4n＋1.错位相减求和例2已知等比数列{an}中，公比q∈(0,1)，a2＋a4＝54，a1a5＝14，设bn＝12nan(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和Sn.【解】(1)由题意知，a2·a4＝a1·a5＝14，联立方程得a2＋a4＝54a2·a4＝14.∵q∈(0,1)，∴a2a4，∴解方程组得a2＝1，a4＝14，∴q＝12，a1＝2，∴an＝2×12n－1＝12n－2.(2)由(1)知，an＝12n－2，所以bn＝n·12n－1.∴Sn＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n－1)·12n－2＋n·12n－1，①12Sn＝1×121＋2×122＋…＋(n－2)12n－2＋(n－1)·12n－1＋n·12n，②∴①－②得，12Sn＝120＋121＋122＋…＋12n－2＋12n－1－n·12n＝1×1－12n1－12－n·12n，∴Sn＝4－12n－2－n·12n－1.【归纳拓展】若{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则cn＝an·bn的前n项和可利用错位相减法求得．所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得到部分等比数列的和，此时一定要查清其项数．变式训练2已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项an；(2)求数列{nan}的前n项和Tn.解：(1)∵an＋1＝2Sn，Sn＋1－Sn＝2Sn，∴Sn＋1Sn＝3.又∵S1＝a1＝1，∴数列{Sn}是首项为1，公比为3的等比数列，Sn＝3n－1(n∈N*)．当n≥2时，an＝2Sn－1＝2·3n－2，∴an＝1，n＝1，2·3n－2，n≥2.(2)Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan，当n＝1时，T1＝1；当n≥2时，Tn＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n·3n－2，①3Tn＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n·3n－1，②①－②得，－2Tn＝2＋2(31＋32＋…＋3n－2)－2n·3n－1＝2＋2·31－3n－21－3－2n·3n－1＝－1＋(1－2n)·3n－1，∴Tn＝12＋n－123n－1(n≥2)．又∵T1也满足上式，故Tn＝12＋n－123n－1(n∈N*)．数列与不等式的综合问题例3已知{an}是公比为q的等比数列，且a1＋2a2＝3a3.(1)求q的值；(2)设{bn}是首项为2，公差为q的等差数列，其前n项和为Tn.当n≥2时，试比较bn与Tn的大小．【解】(1)由已知可得a1＋2a1q＝3a1q2，因为{an}是等比数列，所以3q2－2q－1＝0.解得q＝1或q＝－13.(2)①当q＝1时，bn＝n＋1，Tn＝n2＋3n2，所以，当n≥2时，Tn－bn＝n2＋n－220.即当q＝1时，Tnbn(n≥2)．②当q＝－13时，bn＝2＋(n－1)－13＝7－n3，Tn＝n22＋7－n3＝13n－n26，bn－Tn＝n－1n－146，所以，当n14时，Tnbn；当n＝14时，Tn＝bn；当2≤n14时，Tnbn.综上，当q＝1时，Tnbn(n≥2)；当q＝－13时，若n14，Tnbn；若n＝14，Tn＝bn；若2≤n14，Tnbn.【归纳拓展】一般在数列不等式的证明中，解题有个角度：放缩法，但在放缩过程中要注意放缩的方向具有一致性，在放缩的度上始终把待证结果作为放缩的目标，适时调整放缩度，不能放得过大或过小．当然数列与不等式的交汇还有很多，具有数列与不等式的双重角色，蕴涵着两种不同的思想，但在解题时，依然以数列与不等式的基础知识与方法作为解题的依据，综合分析并解答问题．变式训练3已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－n(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，数列{bn}的前n项和为Tn，求满足不等式Tn－22n－1≥128的最小n值．解：(1)因为Sn＝2an－n，令n＝1，解得a1＝1，再分别令n＝2，n＝3，解得a2＝3，a3＝7.(2)因为Sn＝2an－n，所以Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2，n∈N*)，两式相减，得an＝2an－1＋1，所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，n∈N*)．又因为a1＋1＝2，所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．则an＋1＝2n.故an＝2n－1.(3)因为bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，所以bn＝(2n＋1)·2n.所以Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，①2Tn＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，②①－②，得－Tn＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1＝6＋2×22－2n×21－2－(2n＋1)·2n＋1＝－2＋2n＋2－(2n＋1)·2n＋1＝－2－(2n－1)·2n＋1.所以Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1.若Tn－22n－1≥128，则2＋2n－1·2n＋1－22n－1≥128，即2n＋1≥27，所以n＋1≥7，解得n≥6.所以满足不等式Tn－22n－1≥128的n的最小值为6.数列的实际应用问题例4假设某市2011年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2011年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?【解】(1)设中低价房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50.则Sn＝250n＋nn－12×50＝25n2＋225n.令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0，n∈N*，∴n≥10.∴到2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．(2)设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列．其中b1＝400，q＝1.08.则bn＝400×(1.08)n－1.由题意可知an0.85bn，有250＋(n－1)×50400×(1.08)n－1×0.85.解得满足上述不等式的最小正整数n＝6.∴到2016年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.【归纳拓展】(1)用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求和，求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是一个解方程问题，解不等式问题，还是一个最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果．(2)解这类数列问题，在列项时，一般先不算出最后结果，这样便于发现其中的规律，进而写出通项公式．变式训练4某市投资甲、乙两个工厂，2011年两工厂的年产量均为100万吨，在今后的若干年内，甲工厂的年产量每年比上一年增加10万吨，乙工厂第n年比上一年增加2n－1万吨．记2011年为第一年，甲、乙两工厂第n年的年产量分别记为an，bn.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若某工厂年产量超过另一工厂年产量的2倍，则将另一工厂兼并，问到哪一年底其中一个工厂将被另一工厂兼并．解：(1)因为{an}是等差数列，a1＝100，d＝10，所以an＝10n＋90.因为bn－bn－1＝2n－1，bn－1－bn－2＝2n－2，…，b2－b1＝2，所以bn＝100＋2＋22＋…＋2n－1＝2n＋98.(2)当n≤5时，an≥bn且an2bn.当n≥6时，an≤bn，所以甲工厂有可能被乙工厂兼并．2anbn即2(10n＋90)2n＋98，解