用向量知识解决立体几何中典型问题

ABCDEFxyzP用向量知识解决立体几何中典型问题空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索性试题提供了简便、快速的解法。它的实用性是其它方法无法比拟的，因此应加强运用向量方法解决几何问题的意识，提高使用向量的熟练程度和自觉性，注意培养向量的代数运算推理能力，掌握向量的基本知识和技能，充分利用向量知识解决图形中的角和距离、平行与垂直问题，下面就谈一谈向量知识在立体几何中运用。大家自学时注意方法的理解，黑体字内容就是一些关键的讲解。什么是法向量？平面垂直的向量称为法向量。法向量是解决与面有关问题时必须要用到的。一、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。线面角：方法点评：设n是平面的法向量，PM是平面的一条斜线，则PM与平面所成的角为PM与法向量成角的余角。即PMnPMn=arcsin，如图：所以解决问题关键就在于求出法向量n，下例将介绍法向量求法。例1：如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，AD=PD，E，F分别CD、PB的中点.（Ⅰ）求证：EF平面PAB；（Ⅱ）设AB=2BC，求AC与平面AEF所成角的大小.（Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系（如图），设AD=PD=1，AB=2a（0a），则E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),11(,,)22Fa.得11(0,,)22EF，(2,1,1)PBa，(2,0,0)ABa.由11(0,,)(2,0,0)022EFABa，得EFAB，即EFAB，同理EFPB，又ABPBB，所以，EF平面PAB.（注：此小问所用即向量法证明线面垂直）ED1C1B1A1DCBA（Ⅱ）解：由2ABBC，得22a，即22a.得2(,0,0)2E，211(,,)222F，(2,0,0)C.有(2,1,0)AC，2(,1,0)2AE，11(0,,)22EF.设平面AEF的法向量为(,,)nxyz，（如何来求这个法向量呢？注意到，既然要垂直平面，则要垂直平面内两相交直线，所以可以在平面内任意选择两条出来，然后分别和n做数量积，利用数量积为0建立两个等式，）由00nEFnAE11(,,)(0,,)0222(,,)(,1,0)02xyzxyz11022202yzxy，（两个条件肯定是求不出三个变量的，是因为平面的法向量不唯一，长度可以任意，但肯定都是和平面垂直的，所以我们只需要把其中一个数随意令成一个非0数，就可以得到一个法向量，）令1z，可得12yx.于是(2,1,1)n.则(2,1,0)(2,1,1)3cos,6210211ACnACnACn.所以，AC与平面AEF所成角的大小为3arcsin6.（注意为什么在这里加上了个绝对值，是因为我们在令z时，有人令1，有人令-1，这样得到的法向量方向是相反的，求出来的cos,ACn就有可能为负，但是线面角是锐角，所以只需要取正数。）二面角：方法：设12,nn是二面角l的面,的法向量，则121212,cosnnnnarcnn就是二面角的平面角或补角的大小。例2：如图,在直四棱柱1111ABCDABCD中,已知122DCDDADAB,ADDC,//ABDC.(I)设E是DC的中点,求证:11//DEABD平面;(II)求二面角11ABDC的余弦值.解:(I)连结BE，则四边形DABE为正方形，11BEADAD，且11////BEAAD，11ADEB四边形为平行四边形，11//DEAB.1111DEABDABABD平面，平面，11//.DEABD平面（另：向量法证明线面平行：易得1(0,1,2)DE，可求得面1ABD的一个法向量为(2,2,1)n，由10DEn，又11DEABD面，所以11//DEABD平面）(II)以D为原点，1,,DADCDD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设1DA，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,2),(1,0,2).DABCA1(1,0,2),(1,1,0).DADB设(,,)nxyz为平面1ABD的一个法向量，由1,nDAnDB得200xzxy，取1z，则(2,2,1)n.设111(,,)mxyz为平面1CBD的一个法向量，由,mDCmDB得11112200yzxy，取11z,则(1,1,1)m.33cos,.393mnmnmn由图知该二面角11ABDC为锐角，所以所求的二面角11ABDC的余弦值为3.3（这里求出来法向量成角是钝角，是因为我们在令数字时造成的方向相反，所以求二面角时需要从原图中观察二面角的钝锐，在下正确的结论）二、利用向量知识求点到面，线到面，面到面的距离（后两者均可转化为点面距离）方法：如右图求出平面的一个法向量的坐标，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量MP的坐标，那么P到平面的距离cos,nMPdMPnMPn（注：不是很推荐用向量法计算点面距离，考试中的点面距离大都可以使用等体积法简单求得）例3：如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2，2ABAD（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小；（.42arccos）（Ⅲ）求点E到平面的距离.（721）(I)证明：连结OC.∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD.在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=3.而AC=2,∴AO2+CO2=AC2,∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.∴AO平面BCD.（Ⅱ）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，3，0)，A(0,0,1),E(21,23,0),).0,3,1(),1,0,1(CDBA∴,42,cosCDBACDBACDBA∴异面直线AB与CD所成角的大小为.42arccos（Ⅲ）解：设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则(,,)(1,0,1)0,(,,)(0,3,1)0,nADxyznACxyz∴.03,0zyzx令y=1，得n=(-3,1,3)是平面ACD的一个法向量.又13(,,0),22EC∴点E到平面ACD的距离h=.72173|||·|nnEC三、利用向量知识解决立体几何中的探索性问题。例4:如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=2,PB⊥PD.设点M在棱PC上，问M点在什么位置时，PC⊥平面BMD.PO平面ABCDPOBD又PBPD，2,2BOPO，由平面几何知识得：1,2ODOCBOAO以O为原点，,,OAOBOP分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，（该题建立的坐标系告诉我们，找到z轴后有可能x，y轴并不是象正方体那样一个顶点出去的三条线那么好看，有可能需要在底面图形中自己去构造出x，y轴）则各点坐标为(0,0,0)O，(2,0,0)A，(0,2,0)B，(1,0,0)C，(0,1,0)D，(0,0,2)P（注意C点坐标和D点坐标，既然建立起了原点，x，y轴，那么在负半轴上点坐标同样要是负的）设M分PC所成的比为，由定比分点坐标公式可得2(,0,)11M，则2(,2,)11BM（这里揭示出了在线上设点的方法）PC平面BMD，PCBM，2(1,0,2)(,2,)011得2，则2PMMC，故M为靠近C点的三等分点。则M点是靠近C点的三等分点。（高考中探究性问题往往寻求的都是一满足条件的动点，并且满足的条件一般是垂直，故用此法确实很清晰、简洁）提醒：向量法特别要注意运算问题，在求点坐标、计算法向量、数量积、模的时候一定要小心。以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。толькодлялюдей,которыеиспользуютсядляобучения,исследованийинедолжныиспользоватьсявкоммерческихцелях.Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.NurfürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.Pourl'étudeetlarechercheuniquementàdesfinspersonnelles;pasàdesfinscommerciales.