特征根法求数列通项

1已知数列递推公式求通项公式的类型三(特征根法)编辑整理佛山市顺德区北滘镇莘村中学陈万寿高考中数列主要是考查等差等比数列的定义和性质以及通项公式、前n项和公式等等。在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的关键。类型三、形如21(,nnnapaqapq是常数）的数列先把原递推公式转化为)(112112nnnnaxaxaxa，其中21,xx满足qxxpxx2121，显然21,xx是方程02qpxx的两个非零根。1）如果0112axa，则0112nnaxa，na成等比，很容易求通项公式。2）如果0112axa，则{112nnaxa}成等比。公比为2x，所以1211211)(nnnxaxaaxa，转化成：)(1122221121axaxaxxxannnn，(I)又如果21xx，则{121nnxa}等差，公差为)(112axa，所以))(1(11122121axanaxann，即：1211221)])(1([nnxaxanaa12211222])()2([nnxxaxanxaa可以整理成通式：12)(nnxBnAaIi)如果21xx，则令1121nnnbxa，Axx21，Baxa)(112,就有BAbbnn1，利用待定系数法可以求出nb的通项公式221211212121221)()()1(xxxaxaxxxxxxabnn所以2221211212121221])()()1([nnnxxxxaxaxxxxxxaa，化简整理得：1221211112121)1(nnnxxxaxaxxxxaa，小结特征根法：对于由递推公式nnnqapaa12，21,aa给出的数列na，方程02qpxx，叫做数列na的特征方程。若21,xx是特征方程的两个根，当21xx时，数列na的通项为1211nnnBxAxa，其中A，B由21,aa决定（即把2121,,,xxaa和2,1n，代入1211nnnBxAxa，得到关于A、B的方程组）；当21xx时，数列na的通项为12)(nnxBnAa，其中A，B由21,aa决定（即把2121,,,xxaa和2,1n，代入12)(nnxBnAa，得到关于A、B的方程组）。简例应用（特征根法）：数列na：),0(025312Nnnaaannn，baaa21,的特征方程是：02532xx32,121xx,1211nnnBxAxa1)32(nBA。又由baaa21,，于是)(32332baBabABAbBAa故1)32)((323nnbaaba能力挑战：（2008年广东高考压轴题）设数列na满足121,2aa，12123nnnaaa(3,4)n，数列nb满足b1=1，bn(n=2,3,…)是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有3111mmmkbbb（1）求数列na和nb的通项公式；（2）记nnncnab(1,2,)n，求数列nc的前n项和Sn.【解析】（1）由121()3nnnaaa得1122()3nnnnaaaa(3)n又2110aa，数列1nnaa是首项为1公比为23的等比数列，1123nnnaa12132431()()()()nnnaaaaaaaaaa2222211333n112183231255313nn（2）略