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八年级数学·下新课标[冀教]第二十章函数学习新知问题思考火车行驶的里程随着时间的变化而变化,一天的温度随着时间的变化而变化,像这样,在现实生活中一个量随着另一个量的变化而变化的现象大量存在.函数就是研究一些量之间确定性依赖关系的数学模型.今天我们首先来学习——20.1常量和变量.活动1尝试探究一起探究1.小明在上学的途中,骑自行车的平均速度为300m/min.(1)填写下表:(2)在这个问题中,哪些量是不变的,哪些量是变化的?变化的量之间存在着怎样的关系?2.桃园村办企业去年的总收入是25000万元,计划从今年开始逐年增加收入3500万元.在这个问题中,一共有几个量?其中哪些量是不变的,哪些量是变化的?变化的量之间存在着怎样的关系?3.类似地,请你再举出两个实际问题的例子,并分别说明它们各含有几个不同的量,其中哪些量是不变的,哪些量是变化的.观察、讨论,解释每个题中变化的量和不变的量.在问题1中,共有三个量,其中平均速度300m/min是不变的量,路程和时间都是变化的量,它们之间满足关系s=300t.在问题2中,共有四个量,即去年的总收入、从今年起每年增加的收入、第几年和第几年的总收入.其中,去年的总收入25000万元和以后每年增加的收入3500万元都是不变的量,第几年和第几年的总收入都是变化的量.如果用n(n取正整数)表示从今年起的第n年,用W表示第n年的总收入,那么它们之间满足关系W=25000+3500n.在一个变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,而数值保持不变的量叫做常量.特别强调:(1)常量与变量必须存在于一个变化过程中.(2)判断一个量是常量还是变量,需:①看它是否在一个变化的过程中;②看它在这个变化过程中的取值情况.1.电影票的售价为10元/张,第一场售出150张票,第二场售出205张票,第三场售出310张票,三场电影的票房收入各为多少元?设一场电影售票x张,票房收入y元.怎样用含x的式子表示y?第一场电影票房收入:150×10=1500(元);第二场电影票房收入:205×10=2050(元);第三场电影票房收入:310×10=3100(元).关系式:y=10x.2.你见过水中的涟漪吗?如右图所示,圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中,当圆的半径r分别为10cm,20cm,30cm时,圆的面积S分别为多少?用含r的式子表示S.当r=10cm时,S=102π=100π(cm2);当r=20cm时,S=202π=400π(cm2);当r=30cm时,S=302π=900π(cm2).关系式:S=πr2.3.用10m长的绳子围成一个矩形.当矩形的一边长x分别为3m,3.5m,4m,4.5m时,它的邻边长y分别为多少?用含x的式子表示y.当边长为3m时,邻边长y为5-3=2(m);当边长为3.5m时,邻边长y为5-3.5=1.5(m);当边长为4m时,邻边长y为5-4=1(m);当边长为4.5m时,邻边长y为5-4.5=0.5(m).关系式:y=5-x.通过上述活动,我们清楚地认识到,要想寻求事物变化过程的规律,首先需确定在这个过程中哪些量是变化的,而哪些量又是不变的.在一个变化过程中,可以取不同数值的量为变量,数值始终不变的量称之为常量.如上述四个过程中,时间t、里程s、售出票数x、票房收入y、圆的半径r、圆的面积S、矩形一边长x、其邻边长y都是变量.而速度60千米/时、票价10元/张、圆周率π、绳长10m都是常量.活动2巩固练习做一做在下列各问题中,分别各有几个量,其中哪些量是常量,哪些量是变量?这些量之间具有怎样的关系?(1)每张电影票的售价为10元.某日共售出x张票,票房收入为y元.(2)一台小型台秤最大称重为6kg,每添加0.1kg重物,指针就转动6°的角,添加重物质量为mkg时,指针转动的角度为α.(3)用10m长的绳子围成一个长方形.小明发现不断改变长方形的长x(m)的大小,长方形的面积S(m2)就随之有规律地发生变化.答案:(1)有三个量,10元是常量,x张和y元是变量,y=10x.(2)有五个量,6kg,0.1kg和6°是常量,mkg和α是变量,α=60m.(3)有三个量,10m是常量,x和S是变量,S=x(5-x).检测反馈1.在圆周长计算公式C=2πr中,对半径不同的圆,变量有()A.C,rB.C,π,rC.C,πrD.C,2π,r解析:直接利用在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量,数值始终不变的量称为常量,进而得出在圆周长计算公式C=2πr中,对半径不同的圆,变量有C,r.故选A.A解析:∵篱笆的总长为60m,∴周长p是定值,而面积S和一边长a是变量.故选B.2.如果用总长为60m的篱笆围成一个长方形场地,设长方形的面积为S(m2),周长为p(m),一边长为a(m),那么S,p,a中是变量的是()A.S和pB.S和aC.p和aD.S,p,aB3.某人要在规定的时间内加工100个零件,则工作效率η与时间t之间的关系中,下列说法正确的是()A.数100和η,t都是变量B.数100和η都是常量C.η和t是变量D.数100和t都是常量解析:根据变量和常量的定义可知η和t是变量,零件的个数100是常量.故选C.C121212121212124.在三角形面积公式S=ah,a=2cm中,下列说法正确的是()A.S,a是变量,h是常量B.S,h是变量,是常量C.S,h是变量,a是常量D.S,h,a是变量,是常量解析:在三角形面积公式S=ah,a=2cm中,a的值保持不变,它是常量,h和S是变量.故选C.C5.林老师骑摩托车到加油站加油,发现每个加油器上都有三个量,其中一个表示“元/升”,其数值固定不变,另外两个量分别表示“数量”“金额”,数值一直在变化,在这三个量当中是常量,是变量.解析:常量就是在变化过程中不变的量,变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量.元/升数量、金额6.汽车行驶的路程s、行驶时间t和行驶速度v之间有下列关系:s=vt.如果汽车以每小时60km的速度行驶,那么在s=vt中,变量是,常量是;如果汽车行驶的时间t规定为1小时,那么在s=vt中,变量是,常量是;如果甲、乙两地的路程s为200km,汽车从甲地开往乙地,那么在s=vt中,变量是,常量是.解析:根据在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量,数值始终不变的量称为常量解答.s,t60s,v1v,t2007.齿轮每分钟120转,如果n表示转数,t表示转动时间.(1)用n的代数式表示t；(2)说出其中的变量与常量.解析:(1)根据题意可得转数=每分钟120转×时间;(2)根据变量和常量的定义:在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量,数值始终不变的量称为常量,可得t,n是变量.120n解:(1)由题意得120t=n,即t=.(2)变量:t,n,常量:120.106t8.说出下列各个过程中的变量与常量.(1)我国第一颗人造地球卫星绕地球一周需106分钟,t分钟内卫星绕地球的周数为N,N=;(2)矩形的长为2cm,它的面积S(cm2)与宽a(cm)的关系式是S=2a.解析:根据常量是在某一变化过程中保持不变的量,变量是在某一变化过程中可以取不同数值的量,对各小题分析判断即可得解.解:(1)N和t是变量,106是常量.(2)S和a是变量,2是常量.