高中数学第二章数列2.4等比数列第1课时等比数列的概念与通n项公式练习新人教A版5教案

12.4第1课时等比数列的概念与通n项公式A级基础巩固一、选择题1．在数列{an}中，对任意n∈N*，都有an＋1－2an＝0，则2a1＋a22a3＋a4的值为()A.14B.13C.12D．1解析：a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，a4＝8a1，所以2a1＋a22a3＋a4＝4a116a1＝14.答案：A2．公差不为0的等差数列的第2，3，6项构成等比数列，则公比是()A．1B．2C．3D．4解析：设等差数列的第2项是a2，公差是d，则a3＝a2＋d，a6＝a2＋4d.由等差数列的第2，3，6项构成等比数列，得(a2＋d)2＝a2(a2＋4d)，则d＝2a2，公比q＝a3a2＝a2＋da2＝a2＋2a2a2＝3.答案：C3．若正数a，b，c组成等比数列，则log2a，log2b，log2c一定是()A．等差数列B．既是等差数列又是等比数列C．等比数列D．既不是等差数列也不是等比数列解析：由题意得b2＝ac(a，b，c0)，所以log2b2＝log2ac即2log2b＝log2a＋log2c，所以log2a，log2b，log2c成等差数列．答案：A4．已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于()A．6B．－6C．±6D．±12解析：a＝1＋22＝32，b2＝(－1)(－16)＝16，b＝±4，2所以ab＝±6.答案：C5．(2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐步加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年解析：设第n年的研发投资资金为an，a1＝130，则an＝130×1.12n－1，由题意，需an＝130×1.12n－1≥200，解得n≥5，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万，选B.答案：B二、填空题6．等比数列{an}中，a1＝18，q＝2，则a4与a8的等比中项为________．解析：a4＝a1q3＝18×23＝1，a8＝a1q7＝18×27＝16，所以a4与a8的等比中项为±16＝±4.答案：±47．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．解析：设等比数列的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5得a1（1＋q2）＝10，a1q（1＋q2）＝54，解得a1＝8，q＝12，所以a1a2…an＝an1q1＋2＋…＋(n－1)＝8n×12n（n－1）2＝2－12n2＋72n，于是当n＝3或4时，a1a2…an取得最大值26＝64.答案：648．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，12a3，2a2成等差数列，则a6＋a7a8＋a9等于________．解析：设等比数列{an}的公比为q，3由于a1，12a3，2a2成等差数列，则212a3＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2，所以a1q2＝a1＋2a1q.由于a1≠0，所以q2＝1＋2q，解得q＝1±2.又等比数列{an}中各项都是正数，所以q＞0，所以q＝1＋2.所以a6＋a7a8＋a9＝a1q5＋a1q6a1q7＋a1q8＝1q2＝1（1＋2）2＝3－22.答案：3－22三、解答题9．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝203，求{an}的通项公式．解：设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.a2＝a3q＝2q，a4＝a3.q＝2q，所以2q＋2q＝203.解得q＝13或q＝3.当q＝13时，a1＝18，所以an＝18×13n－1＝2×33－n.当q＝3时，a1＝29，所以an＝29×3n－1＝2×3n－3.综上，当q＝13时，an＝2×33－n；当q＝3时，an＝2×3n－3.10．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2·a5＝827.(1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项．(2)试问－1681是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理4由．解：(1)因为2an＝3an＋1，所以an＋1an＝23.又因为数列{an}的各项均为负数，所以a1≠0，所以数列{an}是以23为公比的等比数列．所以an＝a1·qn－1＝a1·23n－1.所以a2＝a1·232－1＝23a1，a5＝a1·235－1＝1681a1，又因为a2·a5＝23a1·1681a1＝827，所以a21＝94.又因为a10，所以a1＝－32.所以an＝－32×23n－1＝－23n－2(n∈N*)．(2)令an＝－23n－2＝－1681，则n－2＝4，n＝6∈N*，所以－1681是这个等比数列中的项，且是第6项．B级能力提升1．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝()A．－4B．－2C．2D．4答案：A2．已知等比数列{an}，若a3a4a8＝8，则a1a2…a9＝________．答案：5123．设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1，2，3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.5(1)试用an表示an＋1；(2)求证：an－23是等比数列；(3)当a1＝76时，求数列{an}的通项公式及项的最值．(1)解：根据根与系数的关系，得α＋β＝an＋1an，αβ＝1an.代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，得6an＋1an－2an＝3.所以an＋1＝12an＋13.(2)证明：因为an＋1＝12an＋13，所以an＋1－23＝12an－23.若an＝23，则方程anx2－an＋1x＋1＝0可化为23x2－23x＋1＝0，即2x2－2x＋3＝0.此时Δ＝(－2)2－4×2×30，所以an≠23，即an－23≠0.所以数列an－23是以12为公比的等比数列．(3)解：当a1＝76时，a1－23＝12，所以数列an－23是首项为12，公比为12的等比数列．所以an－23＝12×12n－1＝12n，所以an＝23＋12n，n＝1，2，3，…，即数列{an}的通项公式为an＝23＋12n，n＝1，2，3，….由函数y＝12x在(0，＋∞)上单调递减知，当n＝1时，an的值最大，即最大值为a1＝76.