常微分方程(王高雄)第三版-1.1

常微分方程•始于十七世纪•牛顿、莱布尼茨、欧拉、伯努利…第一章绪论二体问题海王星的发现常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。§1.1常微分方程模型微分方程:联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模型的过程.例1镭的衰变规律:0,0,,.tRt设镭的衰变规律与该时刻现有的量成正比且已知时镭元素的量为克试确定在任意时该时镭元素的量解:(),tRt设时刻时镭元素的量为,)()(dttdRtR对时间的变化律是由于镭元素的衰变律就:衰变律可得依题目中给出镭元素的,kRdtdR0)0(RR.)(,0随时间的增加而减少是由于这里tRk:解之得kteRtR0)(即镭元素的存量是指数规律衰减的.将某物体放置于空气中,在时刻0t时,测得它的温度为,1500Cu10分钟后测量得温度为试决定此物.1001Cuut例2物理冷却过程的数学模型Newton冷却定律:1.热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导;2.在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.设物体在时刻的温度为根据导数的物理意义,则温度的变化速度为由Newton冷却定律,得到t).(tu.dtdu),(auukdtdu其中为比例系数.此数学关系式就是物体冷却过程的数学模型.0k解:例3100元钞票落地实验能否夹住关键在于人的反应时间能否小于人民币经过双指所耗费的时间？实质：自由落体运动牛顿第二定律：F=ma.,22dtsdamgF于是得到,22gdtsd21221)(ctcgtts经计算，人民币经过双指的时间不超过0.18秒，而一般人的反应时间大于等于0.2秒，因此夹不住！解:下落的位移s(t)是时间t的一元函数例4传染病模型:长期以来,建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传播的试验以获取数据,所以通常主要是依据机理分析的方法建立模型.(艾滋病,SARS,H5N1,埃博拉等):,,假设条件为时间以天为计量单位不变考察地区的总人数假设在疾病传播期内所N).(和)(分别为)病人(染者人群中健康人数和已感在时刻)1(txtyt）系数健康人数成正比（比例传染的人数与当时单位时间内一个病人能)2(k解:根据题设,每个病人每天可使称为SIS模型经典的SI模型（易感染者和已感染者模型）)(xNkxdtdx0)0(xx设单位时间治愈率为治愈后会再次被感染。疾、伤风等，对无免疫性传染病如痢)3(xxNkxdtdx)(ltrt治愈率为常数),(的愈后免疫人数为设在时刻。治愈后不会再次被感染水痘、麻疹等，对具有免疫性传染病如)4(lxdtdrlxkxydtdxNtrtytx)()()(解:0)0(,xxlxkxydtdx消去r(t)，得到0)0(,xNykxydtdy称为SIR模型思考与练习1.曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数,求该曲线所满足的微分方程.2a:距分别为的切线的横截距与纵截),(过点yx.''xyyyyx和解:由题目条件有:2''))((21axyyyyx2.求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线所满足的微分方程.解:设所求的曲线方程为).(xfy由导数的几何意义,应有,2)('xxf即.2)(2CxCdxxxf又由条件:曲线过(1,3),即,3)1(f于是得.2C故所求的曲线方程为:.22xy