常微分方程(王高雄)第三版-1.2

§1.2基本概念定义1:联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程.;2)1(xdxdy;0(2)ydxxdy;0)3(322xdtdxtxdtxd;sin35)4(2244txdtxddtxd;)5(zyzxz.0)6(2222uzyxyuxu例1：下列关系式都是微分方程一、常微分方程与偏微分方程如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程.;2)1(xdxdy;0(2)ydxxdy;0)3(322xdtdxtxdtxd;sin35)4(2244txdtxddtxd都是常微分方程1.常微分方程如如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程.;)5(zyzxz.0)6(2222uzyxyuxu注:本课程主要研究常微分方程.同时把常微分方程简称为微分方程或方程.2.偏微分方程如都是偏微分方程.定义2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数.2)1(xdxdy是一阶微分方程；0(2)ydxxdy是二阶微分方程；0)3(322xdtdxtxdtxd是四阶微分方程.sin35)4(2244txdtxddtxd二、微分方程的阶如:)1(0),,(nndxyddxdyx,y,Fn阶微分方程的一般形式为.是自变量,是未知函数,而且一定含有,的已知函数是0这里xyndxynddxyd,,dxdyx,y,)dxyd,,dxdyF(x,y,nnnn2)1(xdxdy是线性微分方程.0(2)ydxxdysin35)4(2244txdtxddtxd三线性和非线性0)dxyd,,dxdyF(x,y,nn如.,,,阶线性方程则称其为的一次有理式及的左端为ndxyddxdyynn1.如果方程是非线性微分方程.如0)3(322xdtdxtxdtxd2.n阶线性微分方程的一般形式111()()()(2)nnnnndydyaxaxyfxdxdx.)(),(),(1的已知函数是这里xxfxaxan不是线性方程的方程称为非线性方程四微分方程的解定义4:,),(满足条件如果函数Ixxy;阶的连续导数上有直到在)((1)nIxy,0))(),(),(,(:有对)2()(xxxxFIxn.0(x)上的一个解在为方程则称I)dxyd,,dxdyF(x,y,ynn例2.),(0cossin上的一个解在都是微分方程验证yyxx,yy证明:由于对,sinxyxx,yy'sincos(,),x故对有yyxsin0xsin.),(在0sin上的一个解是微分方程故yyxy.),(0cos上的一个解在是微分方程同理yyxy1显式解与隐式解是方程的一个则称的解为方程所确定的隐函数如果关系式0),(,0),,dxdyy,F(x,Ix(x),y0),(yxdxydyxnn定义4所定义的解为方程的一个显式解.隐式解.注:显式解与隐式解统称为微分方程的解.)(xy例如yxdxdy对一阶微分方程有显式解:2211.yxyx和和隐式解:.122yx2通解与特解定义5如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解.例如:为任常数2121,ccosx,sinxyccc.0y的通解是微分方程yn阶微分方程通解的一般形式为),,,(1nccxy.,,1为相互独立的任常数其中ncc注1:使得行列式的某一邻域存在是指个独立常数含有称函数,),,,(,),,,(11nnccxnccxy0),,,(),,,()1(2)1(1)1(212121)1(nnnnnnnncccccccccccc.)(kkkdxd表示其中例3.6223c'2321的通解是微分方程验证yyyyececey'xxxxxx'ececey23212c证明:由于,4c2321xxx''ececeyxxx'''ececey23218c故yyyy'22')2(c2321xxxecece)8(c2321xxxecece)4(c22321xxxecece)32(c2321xxxecece6xe)c2cc2c(1111xecccc)22(-2222xecccc23333)228(86.6223c'2321的通解是微分方程故yyyyececey'xxx又由于3''3''1''3'2'1'321ccccccccc2222264xxxxxxxxxxeeeeeeeeee0.6223c2321的解微分方程是故yyyyececey''xxx注2:.),,,(,0),,,,(),,,(11该微分方程的所有解包含了并不表示的通解是微分方程的nnnnccxydxyddxdyyxFccxy注3:类似可定义方程的隐式通解,如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的隐式通解.在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解.例如.0cossin的特解都是方程yyxx,yy中分别取可在通解xcxcycossin21:,0,1c21得到c:,1,0c21得到c,sinxy.cosxy定义6问题：通解可能无穷多个，如何找到有用的特解呢？3定解条件为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.求满足定解条件的求解问题称为定解问题.常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初始条件是指如下的n个条件:)1(01)1()1(000,,,,nnnydxydydxdyyyxx时当.1,,,,)1(0)1(000个常数是给定的这里nyyyxn当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题.注1:n阶微分方程的初始条件有时也可写为)1(010)1()1(0000)(,,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy通常记为问题的解的初值问题也称满足条件阶微分方程求,)(,,)(,)(,0),,,,(:)1(010)1()1(0000CauchyydxxydydxxdyyxydxyddxdyyxFnnnnnn注2:0),,,,(nndxyddxdyyxF)1(010)1()1(0000)(,,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy例4.1)0(,2)0(,045'421的特解并求满足初始条件的通解是方程验证yyyyyececy'x-xyyy'45-4x21)ec(cex)e16c(-4x21cex0'-4x21)ec(5cex)ec(4-4x21cex)e4c(5-4x21cex)ec(4-4x21cex解由于且xxxxeeee4442'1'21cccc0.045ec'-4x21的通解是方程故yyyceyx有由初始条件1)0(,2)0('yy221cc1421cc解以上方程组得1,321cc的特解为满足初始条件故方程1)0(,2)0(045y''yyyy-4xe3xey的如下解例：求微分方程12xdxdy相切的解与直线满足通解1(3)3(2)(1)10xyydxcxxy26132xxy12xxy的如下解例：求微分方程12xdxdy相切的解与直线满足通解1(3)3(2)(1)10xyydx的如下解例：求微分方程12xdxdy思考1、微分方程的解是否连续？是否可导？2、通解是否一定包含了全部解？3、所有方程都有通解吗？五积分曲线和方向场1积分曲线一阶微分方程),(yxfdxdy,平面上的一条曲线所表示的解xy(x)y称为微分方程的积分曲线..,族称这族曲线为积分曲线平面上的一族曲线对应而其通解xy(x,c)y2方向场),(,),(,),(,),(,),(yxfdxdyDyxyxfyxDDyxf为方程有这种直线段的区域称带点的线段中心在的值为斜率上一个以都画处内每一点在的定义域为设函数在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.所规定的方向场..,),(,),(为参数其中的等斜线为方程kkyxfyxfdxdy方向场画法：适当画出若干条等斜线，再在每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量,这样即可画出这个方向场.例画出方程所确定的方向场示意图.22yxy解方程的等斜线为,22Cyx画出五条等斜线,再在每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量，如图方向场。xoy根据方向场即可大致描绘出积分曲线．经过点(0,1)，(0,0)，(0,-1)的三条积分曲线．如左图所示。xoy例5.的方向场研究方程xydxdy例6.}2,2|),{(的方向场和积分曲线内画出方程在区域ydxdyyxyxD积分曲线方向场方向场示意图积分曲线例7.2的方向场和积分曲线研究方程yxdxdy六、微分方程组定义：用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方程组。一般形式：1112211111(;,)(;,)(;),,(;)(;,)(;,)nnnnnnnnyftyyyftyydftftdtyftyyyftyyyyyyLorenz方程Volterra两种种群竞争模型()dxayxdtdyxzcxydtdzybzdt(1.18)()()dxxabxcydtdyydexfydt(1.19)高阶微分方程的另一种形式(;,,,)0nndzdzFtzdtdt1()1(;,,,)0nnndzdzzgtzdtdt如果把都理解为未知函数，并作变换(1),,,,nzzzz(1)123,,,,nnyzyzyzyz1211(;,,)nnnndyydtdyydtdygtyydt上述高阶微分方程可以变为下列微分方程组并可以记为向量形式(;)dyftydt其中均为向量函数．,(;)yfty分析：微分方程（组）的向量形式为其用线性代数知识进行研究讨论提供了方便。七、驻定与非驻定(),ndfDdtyyyR与t无关，驻定系统(,),ndftDdtyyyR与t有关，非驻定系统八相空间与轨线1.不含自变量，只有未知函数构成的空间成为相空间2.积分曲线在相空间的投影称为轨线.3.(),dfdtyy对{()0}fyy奇点或平衡点相空间（x,y）又称相平面。111111(,,)(,,)nmnmmnyyxxDyyDxxyyxx九、雅可比矩阵与函数相关性对于个变元的个函数定义雅可比矩阵为nm当时，称雅可比矩阵对应的行列式为雅可比行列式，记为nm11(,,).(,,)nnyyxxP274.