常微分方程(王高雄)第三版-4.2

§4.2常系数线性方程的解法常微分方程OrdinaryDifferentialEquations第四章一、复值函数与复值解1复值函数.)()()(,)()(复值函数上的为区间我们称上定义的实函数是区间与如果btatittzbtatt.)(,)()(连续上在则称上连续在区间与若btatzbtatt的导数为且上可微在则称上可微在与若)(,)(,)()(tzbtatzbtatt)()()('''tittz复函数的求导法则与实函数求导法则相同2复指数函数)sin(cos)()(titeeetzttikt欧拉公式:)(21costitieet)(21sintitieeit性质:定义,)1(ktktee,)2(2121)(tktktkkeee,)3(ktktkeedtd,)4(ktnktnnekedtd3复值解)1.4()()()(111tfxtadtxdtadtxdnnnnn(1)定义如果的复值解称为方程上的实变量复值函数定义于区间,)1.4(),(tzbta)()()()()()(111tftztadttzdtadttzdnnnnn.恒成立对于bta)2.4(0)()(111xtadtxdtadtxdnnnnn(2)定理8.)2.4()()()()()(,)()()(,),,2,1)(()2.4(的解也都是方程的共轭复数及和虚部的实部则解是方程的复值而都是实值函数的所有系数如果方程tztztttztittzxnitai(3)定理9若方程)()()()(111tivtuxtadtxdtadtxdnnnnn()(),()(1,2,,)(),(),()()ixUtiVtatinutvtUtVt有复值解这里及都是实值函数则这个解的实部和虚部分别是方程)()()(111tuxtadtxdtadtxdnnnnn和)()()(111tvxtadtxdtadtxdnnnnn的解.二、常系数齐线性方程和欧拉方程1常系数齐线性方程的求解方法(Euler待定系数法)考虑方程)19.4(0][111xadtxdadtxdxLnnnnn,,,,21为常数其中naaa称(4.19)为n阶常系数齐线性方程.显然,一阶常系数齐线性方程0axdtdx有解,atcex对(4.19)尝试求指数函数形式的解)20.4(,tex,这里是待定常数可以是实数也可以是复数。把它代入方程(4.19)得0)(][111tnnnnteaaaeL:)19.4(,的解的充要条件是为因此te是代数方程)21.4(,0)(111nnnnaaaF的根,方程(4.21)称为方程(4.19)的特征方程,它的根为方程(4.19)的特征根.(1)特征根是单根的情形个解有如下则相应方程等的特征根个彼此不相的是特征方程设nnn)19.4(,)21.4(,,,21)22.4(,,,21tttneee由于],,,[21tttneeeWtnntntntntttttnnneeeeeeeee1121121212121tne)(211121121111nnnnntne)(21nijji1)(0故解组(4.22)线性无关.,),,2,1(均为实数若nii.,,21是任常数其中nccc,),,2,1(中有复数若nii因方程的系数为实常数,复根将成对共轭出现,,,21也是特征根则是特征根设ii相应方程(4.19)有两个复值解,),sin(cos)(titeetti);sin(cos)(titeettitnttnececectx2121)(从而的基本解组是方程则,)19.4()22.4(的通解为)19.4(,costet;sintet(2)特征根是重根的情形则有重根有设特征方程,)21.4(1k,0)()()(1)1(1'1kFFF;0)(1)(kF两种情形加以讨论和下面分0011由定理8知,它的实部和虚部也是方程的解,对方程的一对共轭复根:,1i得(4.19)的两个实值解为0)(1设a,011knnnaaa;0kna式从而特征方程有如下形,011kknnnaa而对应方程(4.19)变为0111kkknnnnndtxdadtxdadtxd;,,,,,112且它们是线性无关的个解显然它有ktttk;,,,,1)19.4()21.4(:12ktttkk个线性无关的解的方程重零根对应着的特征方程从而可得因此则特征方程有因子,k0)(1设b经整理得并把它代入方程作变换),19.4(1tyexttnnnnnteyLeybdtydbdtydyeL111][)(][1111于是方程(4.19)化为)23.4(,0][1111ybdtydbdtydyLnnnnn,,,,21仍为常数其中nbbb方程(4.23)相应特征方程为)24.4(,0)(111nnnnbbbG直接计算易得teF)(11)(][)(1teLtteeL1][1,)()(1teG因此)(1F),(G,)24.4()21.4(,1重零根的对应着重根的可见kk这样就把问题转化为前面讨论过的情形(a).;,,,,1)23.4()24.4(:12111ktttkk个线性无关的解的方程重零根对应着的方程从前面的讨论得个解的因而对应着方程1)19.4(k)25.4(;,,,,1111112tktttetettee的相应解为则方程而且依次为的重数的其它根假设方程类似地)19.4(),(,,,,,,)21.4(,2122jinkkkkkjimmm;,,,,2222212tktttetettee;,,,,12tktttmmmmmetettee)26.4(下面我们证明(4.25)和(4.26)构成方程(4.19)的基本解组,为此只须证明这些函数线性无关即可,对特征方程有复根的情况:,ki如有重复根,重复根也是则ki如同单根时那样,也可以.2,2)19.4(个实值解换成个复值解的把方程kk;cos,,cos,cos1tetttetetktt.sin,,sin,sin1tetttetetktt(3)求方程(4.19)通解的步骤第一步:,,,,)19.4(21k特征方程的特征根求第二步:计算方程(4.19)相应的解;,)(tkkea方程有解对每一个实单根;,1)(个解方程有重实根对每一个mmbk;,,,,12tmtttkkkketettee两个如下形式的解方程有轭复数对每一个重数是一的共,)(ic;sin,costetett个如下形式的解方程有的共轭复数对每一个重数是mimd2,1)(;sin,,sin,sin;cos,,cos,cos11tetttetetetttetetmtttmtt第三步:(),(),(),(),(4.19).abcd根据第二步中的情形写出方程的基本解组及通解例1.0432233的通解求方程xdtxddtxd例2.044的通解求方程xdtxd例3.033223344的通解求方程dtdxdtxddtxddtxd例4.022244的通解求方程xdtxddtxd2欧拉(Euler)方程形如)29.4(,011111yadxdyxadxydxadxydxnnnnnnnn的方程,称为欧拉方程.,,,,21为常数这里naaa(1)引进变换)ln(xtextdxdydxdtdtdydtdy,dtdytex122dxyddxdydxddxdtdtdxdyd)(dtdyedtdttete2222221()(),dydydydydtdtxdtdt由归纳法原理可知kkdxyd11111[],kkkkkkdydydyxdtdtdt,,,,21都是常数其中k将上述关系式代入(4.29)得常系数齐线性方程.)30.4(,0111ybdtydbdtydnnnnn.,,,21为常数其中nbbb)29.4(,011111yadxdyxadxydxadxydxnnnnnnnn)ln(xtext因而可以用上述方法求出(4.30)的通解,再代回原来的变量就可得到方程(4.29)的通解.例5.0222ydxdyxdxydx求解方程解作变换0222ydtdydtyd把上式代入原方程得故原方程的通解为:;)ln()(21xxccxy;,21为任常数这里cc)ln(xtext即则,1dtdyxdxdy),(122222dtdydtydxdxyd上述方程的通解为:;)()(21tetccty注：从上述推演过程知(4.30),的解有形如ktey,)29.4(的解有形如从而kxy因此可直接求欧拉方程的,的解形如kxy,)29.4(的代数方程得到确定代入以kxyk)31.4()2()1()1()1(1nkkkankkk0na则(4.31)正好是(4.30)的特征方程,重的方程因此m)31.4(,;ln,,ln,ln,120000xxxxxxxmkkkk个解的对应于方程根mkk)29.4(,0;,,,,12tmtttkkkketettee个实值解的对应于方程重复根的而方程mikm2)29.4(,)31.4();lncos(ln,),lncos(ln),lncos(1xxxxxxxxm);lnsin(ln,),lnsin(ln),lnsin(1xxxxxxxxm例6.0222ydxdyxdxydx求解方程解上面代数方程的根为故方程的通解为:;)ln()(21xxccxy;,21为任常数这里cc,代入方程设kxy的代数方程得到确定k1)1(kkk2)1(k0121kk例7222350.dydyxxydxdx求解方程解上面代数方程的根为故方程的通解为:)];ln2sin()ln2cos([1)(21xcxcxxy;,21为任常数这里cc,代入方程设kxy的代数方程得到确定k53)1(kkk522kk0,212,1ik三、常系数非齐线性方程的解法(一)比较系数法)32.4()(][111tfxadtxdadtxdxLnnnnn1类型I:'110)32.4(][mmmbtbtbxL即方程为,)(110mmmbtbtbtf.),,2,1(为实常数其中mibi有形如因此方程次多项式右端是一个且方程仍为多项式一个多项式的各阶导数注意到'')32.4(,)32.4(,,m)33.4(,)(~110mmmBtBtBtx.),,2,1(,为待定常数特解miBi'110)32.4(][mmmbtbtbxL,,)32.4()(~'比较两端同次幂的系数代入把tx应满足的方程得mBBB,,,1000baBn1101bamBaBnnmnmb