常微分方程(王高雄)第三版-3.4

§3.4奇解一、包络和奇解1包络的定义定义1：对于给定的一个单参数曲线族：)23.3(,0),,(cyx,,,),,(,的连续可微函数是是参数其中cyxcyxc曲线族(3.23)的包络是指这样的曲线,它本身不包含在曲线(3.23)中,但过这曲线的每一点有(3.23)中的一条曲线和它在这点相切.对于给定的一个单参数曲线族：0),,(:cyxlc其中RIc为参数.若存在一条曲线,l满足下列条件:(1);Iccll(2)对任意的,,00lyx存在唯一的,0Ic使得000,clyx且l与0cl在有相同的切线.则称l为曲线族0),,(:cyxlc的一条包络线,简称为包络.00,xy或定义：例如单参数曲线族：222)(Rycx（其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c,0）而半径等于R的一族圆.如图R从图形可见,此曲线族的包络显然为:.RyRy和注:并不是每个曲线族都有包络.例如:单参数曲线族:222cyx(其中c为参数)表示一族同心圆.如图从图形可见,此曲线族没有包络.问题:对于给定的单参数曲线族:0),,(cyx.是参数其Ic如何判断它是否有包络?如果有包络,如何求?0),,(0),,('cyxcyxc的称为曲线)23.3(0),(yxF2包络的求法曲线族(3.23)的包络包含在下列两方程,0),(之中而得到的曲线消去参数yxFc.判别曲线c.还有其它曲线判别曲线有时除包络外c注:)23.3(,0),,(cyx例1讨论的包络.222)(Rycx解:记,0)(),,(222Rycxcyx则0)1()(20)(222cxRycx消去参数c,得,22Ry于是Ry和Ry是两支c-判别曲线.经验证,Ry和Ry是222)(Rycx的包络.pOxy包络例2求直线族:0sincospyx的包络.这里是参数,p是常数.例3:求曲线族232()()03ycxc的包络.解:记232(,,)()()0,3xycycxc则消去参数c，由(2)得)3(,)(2cxcy)2(.0)(2)(2)1(,0)(32)(222cxcycxcy(3)代入(1),得,0)(32)(34cxcx化简得.0]32)[()(3cxcx于是0)(32)(22cxcy的两支c-判别曲线为:1、将0cx代入(2),得,cy于是得到一支c-判别曲线;:*1xyl2、将032cx代入(2),得另一支c-判别曲线.929432:*2xxyl显然22()2()xyxcyc因为对任意的*,,100lyx考察.00300200,0)(32)(xycxcy解之得,.23;0000ccxy对.0,0yx切线不存在;,000cxy,1230yxck所以xyl:*1不是0)(32)(22cxcy的包络;对0cl,23000cxy.3,29yx在点的切线的斜率为00,xy对任意的*,,200lyx则有.92,0)(32)(00300200xycxcy因为,3200cx所以.98)9232(2)92(2,98)32(200cxyx,10yxck所以0cl于是,在点的切线的斜率为00,xy是0)(32)(22cxcy的包络.*2242:399lyxx*2242:399lyxx考察xyO,l定义2对于一阶微分方程F（x,y,y’）=0.如果存在一条曲线满足下列条件：(1)l为方程的一条积分曲线;(2)l上每点处至少还有另外一条积分曲线经过,且两者在该点相切.则称曲线(即积分曲线)为方程F(x,y,y’)=0的一条奇积分曲线,所对应的解称为奇解.l注：方程F(x,y,y’)=0的奇解是这样的一个解，使的在它上面的每一点处,存在唯一性不成立.3奇解例如:的解为方程2)(22xdxdyxdxdyy22,,2xycxcc为参数.42也是方程的解此外xy.,2422因此它为奇解的包络是通解ccxxyxy问题:给定一个具体的微分方程F(x,y,y’)=0,如何求它的奇解呢?结果：对于一阶微分方程F(x,y,y’)=0，设是它的通解。如果积分曲线族0),,(cyx0),,(cyx的包络l存在，则包络就是方程lF(x,y,y’)=0的一条奇积分曲线，即所对应的解就是方程F(x,y,y’)=0的奇解。l例4:求微分方程32'278'94yyyx的奇解.解:令,'py求得它的通解为:.0)()(32cxcy令.0)(3)(2),,(,0)()(),,(232cxcycyxcxcycyxc消去参数c,得到xy和.274xy经检验:xy不是0)()(32cxcy的包络,从而xy不是方程的奇解(实际上不是方程的解);xy274xy是0)()(32cxcy的包络,从而274xy是方程32'278'94yyyx的奇解.问题:能否不通过求方程F(x,y,y’)=0的通解，而由方程F(x,y,y’)=0本身求它的奇解呢?由隐方程的存在唯一性定理：对于).,(,),(000pGyx如果0),,(000pyxF但,0),,(000pyxFp则初值问题:0000)(',)(,0)',,(pxyyxyyyxF在(h为足够小的正数)，上存在唯一解.hxx0因此,方程F(x,y,y’)=的奇解,如果存在的话,必含在从方程组:0),,(0),,(pyxFpyxFp消去参数p而得到的曲线0),(yx中.4奇解的求法)34.3(,0),,(dxdyyxF方程的奇解包含在由方程组'(,,)0(3.34)(,,)0pFxypFxyp,0),(之中而得到的曲线消去参数yxp的此曲线称为)34.3(.判别曲线p.,尚需进一步讨论奇解判别曲线是否为方程的p注:.,,),,(的连续可微函数是这里pyxpyxF定理2:设F(x,y,p)及其各一阶偏导数是(x,y,p)的连续函数.若微分方程F(x,y,y’)=0有奇积分曲线,则它必含在F(x,y,y’)=0的附注:p-判别曲线0),(yx中.从方程F(x,y,y’)=0中分解出来的一支或数支曲线是否为方程F(x,y,y’)=0的奇积分曲线,即奇解,需要作进一步验证:(1)该支曲线是方程F(x,y,y’)=0的积分曲线;(2)该曲线上任一点处至少还有F(x,y,y’)=0的另外一条积分曲线经过,且两者在该点相切.如果(1)不成立,则该支曲线根本就不是积分曲线;如果(1)成立,而(2)不成立,则该支曲线仅是一般的积分曲线,不是奇积分曲线只有当(1)和(2)同时成立时,该支曲线才是奇积分曲线,即奇解.例5:求微分方程0122ydxdy的奇解.解:从.02,0122pyp消去p(实际上p=0),得到p-判别曲线,12y即.1y为任常数ccxy),sin(.,1且正好是通解的包络也是微分方程的解而y由于方程的通解为:.11是方程的奇解和两曲线yy求微分方程例6:0]1)[('2]1)[('222yxyyxy的奇解.xyO2yx2yx三、克莱罗（Clairaut）方程1定义3:形如dxdyfdxdyxy的方程，称为克莱罗(Clairaut)方程..)(的连续可微函数是这里ppf为求它的解,令,dxdyp得).(pfxpy即得代入并以求导两边对,,pdxdyx,)('dxdppfpdxdpxp经化简,得.0)]('[pfxdxdp2克莱罗(Clairaut)方程的求解dxdyfdxdyxy这是y已解出的一阶微分方程.如果,0dxdp则得到.cp.0)]('[pfxdxdp于是,Clairaut方程的通解为:).(cfcxy如果,0)('pfx它与等式)(pfxpy联立,则得到Clairaut方程的以p为参数的解:)(0)('pfxpypfx或)(0)('cfxcycfx其中c为参数.消去参数p便得方程的一个解.结果:Clairaut方程dxdyfdxdyxy的通解)(cfcxy是一直线族,此直线族的包络)(0)('pfxpypfx或)(0)('cfxcycfx是Clairaut方程的奇积分曲线,所对应的解是奇解.如果令,0)(),,(ycfxccyx则,0)('),,('cfxcyxc因此,求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样.易验证,此参数曲线恰为通解的包络例4:求解方程.'1'yxyy解:这是Clairaut方程,因而它有通解:.1ccxy其中.'1)'(yyf因为,1)(ccf所以.1)('2ccf从ccxycx1012中消去参数c,得到原方程的奇解:.42xyxyOxy42.42xy如图:故,此方程的通解是直线族:,1ccxy而奇解是通解的包络:练习题P111:1(5、10)2(2、4)3