常微分方程(王高雄)第三版-4.1

第四章高阶微分方程常微分方程OrdinaryDifferentialEquations第四章§4.1线性微分方程的一般理论一、解的存在唯一性定理1n阶线性微分方程定义1它的一般形式为阶线性微分方程称为阶微分方程均为一次的及其各阶导数未知函数,,,,nndtxddtdxxnn)1.4()()()(111tfxtadtxdtadtxdnnnnn.)(),2,1)((的连续函数都是及其中btatfnitai变为则方程如果)1.4(,0)(tf)2.4(0)()(111xtadtxdtadtxdnnnnn.)1.4(,)1.4()2.4(称为非齐线性方程阶齐线性方程对应的为称n0)(22222xntdtdxtdtxdt03222xdtdxdtxd)(21222tfxadtdxtadtxdttxdtxdsin422阶齐线性方程2。2阶非齐线性方程2解的存在唯一性定理定理1)1(010)1()1(0000)(,,)(,)(nnnxdttdxdttdxt足初始条件且满定义于区间存在唯一解程方及任意则对任一连续函数的都是区间及如果,),()1.4(,,,,],[,)(),2,1)(((n-1)0)1(00btatxxxxbabtatfnitai0t二、齐线性方程的解的性质和结构阶齐线性方程先讨论n)2.4(0)()(111xtadtxdtadtxdnnnnn.),2,1)((,上连续在假设的一般理论btanitai定理2.,,,)2.4()()()(,)2.4()(,)(),(21221121是任常数这里的解也是方程们的线性组合则它个解的是方程如果kkkkccctxctxctxcktxtxtx1叠加原理证明:个解的是方程由于kkitxi)2.4(),2,1)((故有0)()()()()(111txtadttxdtadttxdinninninki,2,1然后相加得个乘第个等式中上面的,,icik0)()(111xtadtxdtadtxdnnnnn)()()()(2211txctxctxctxkk这里。txctxctxckk的解是方程故)2.4()()()(2211例1是方程验证tctcossinc(t)cost,sint,210xx的解.解:代入方程有分别将(t)cost,sint,0sintsint)(()(t)t0costcost)(sint]sint)[(1ccost]cost)[(2c012(csincos)tct)cossinc(21tct定义12(),(),,()nxtxtxt在atb上有定义，如果存在不全为零的一组数12,,nccc，使得恒等式112233()()()()0nncxtcxtcxtcxt对所有的atb都成立，则称函数12(),(),,()nxtxtxt线性相关，否则称这些函数在所给区间上线性无关。2.线性相关与线性无关如函数21,,,,nttt在任何区间上都线性无关，1.cos,cos2,,costtnt也在任何区间上线性无关。但21,cos2,costt在任何区间上都线性相关。定义23朗斯基(Wronsky)行列式所作成的行列式次函数个可微上定义在)(,)(),(1],[21txtxtxkkbak)](,)(),([21txtxtxWk)()()()()()()()()()1()1(2)1(1''2'121txtxtxtxtxtxtxtxtxkkkkkk).(,)()(,),(),(21tWWronskytxtxtxk记为行列式的朗斯基称为函数4函数的线性相关性与其Wronsky行列式的关系(1)定理3证明:,,,,21nccc数存在一组不全为零的常由假设可知使得],[,0)()()(2211battxctxctxcnn个恒等式得到微分依次将此恒等式对nt,.0)(],[,)(,)(),(21tWWronskybabtatxtxtxn行列式上它们的则在性相关上线在区间若函数0)()()(''22'11txctxctxcnn0)()()(2211txctxctxcnn0)()()(''''22''11txctxctxcnn0)()()()1()1(22)1(11txctxctxcnnnnn,,,21的齐次方程组上述方程组是关于nccc由线性代数理论知要使方程组存在非零解,则它的系数行列式必为零,].,[,0)(battW即,行列式它的系数就是Wronsky注定理3的逆不成立.如函数,0,00,)(21ttttx,0,0,0)(22ttttx都有对所有显然t,)(tWtt20020202tt,0,00t0t.),()(),(21上是线性无关的在区间但txtx0)()(2211txctxc事实上,若有恒等式则,001ct时推得,0t时推得20c推论.],[,0)(,],[)(,)(),(0021上线性无关数组在则该函即处不等于零上某点在区间行列式的若函数组batWtbaWronskytxtxtxn(2)定理4证明:“反证”,0)(],,[00tWbat使设有某个,,,21的齐次方程组考虑关于nccc)(0)(,],[,)(,)(),()2.4(21btatWbaWronskybtatxtxtxn即上任何点都不等于零行列式在则它们上线性无关在区间的解如果方程的0)()()(0'0'220'11txctxctxcnn0)()()(0022011txctxctxcnn0)()()(0''0''220''11txctxctxcnn0)()()(0)1(0)1(220)1(11txctxctxcnnnnn,,,21nccc故它有非零解其系数行列式为现以这组常数构造函数,,)2.4()(的解是方程tx)(0tW,0],[),()()()(2211battxctxctxctxnn由定理2知,又因为0)()()()(0'0'220'110'txctxctxctxnn0)()()()(00220110txctxctxctxnn0)()()()(0)1(0)1(220)1(110)1(txctxctxctxnnnnnn'''(1)0000()()()()0,(4.10)nxtxtxtxt满足初始条件这表明这个解)(tx,)10.4()2.4(0)(解满足初始条件显然也是方程但是tx],[,0)()()()(2211battxctxctxctxnn由解的唯一性定理知,,,21不全为零因为nccc.)(,)(),(21线性无关相矛盾这与txtxtxn由定理4易得下面结论推论2.0)(],,[:)(,)(),()2.4(0021tWbatbtatxtxtxnn使存在是上线性无关的充要条件间是在区个解的方程推论1.,0)(],[,)2.4()(,)(),(021上线性相关则该组解在使如果存在个解的在区间是方程设btaWbatnbtatxtxtxn0t由定理1知,方程(4.2)满足初始条件0)(,,0)(,1)(0)1(0'0txtxtxn0)(,,1)(,0)(0)1(0'0txtxtxn1)(,,0)(,0)(0)1(0'0txtxtxn,)(,)(),(21一定存在个解的txtxtxnn又因为)](,),(),([00201txtxtxWn10001000101.,4个解一定线性无关这可知由定理n由此得定理55齐线性方程线性无关解的存在性定理56通解的结构(1)定理6的通解可表为则方程无关解个线性的是方程如果)2.4(,)2.4()(,)(),(21ntxtxtxn)11.4(),()()()(2211txctxctxctxnn.)2.4()11.4(,,,21的所有解包含了方程且通解是任常数其中nccc.)2.4(个线性无关的解.一定存在阶齐线性方程nn证明:首先,由叠加原理(4.11)是(4.2)的解,它包含有n个任意常数,又因为nnnnnncxcxcxcxcxcxcxcxcx)1(2)1(1)1('2'1'21)](,)(),([21txtxtxWn0,,,21是相互独立的因而这些常数nccc故(4.11)为(4.2)的通解.且满足初始条件的任一解对),()2.4(tx,)(,,)(,)()1(00)1()1(00'00nnxtxxtxxtx考虑方程组)1(00'0'220'11)()()(xtxctxctxcnn00022011)()()(xtxctxctxcnn)1(00)1(0)1(220)1(11)()()(nnnnnnxtxctxctxc),(0tW其系数行列式就是,0)(40tW知由定理,,,21nccc解因而上面方程组有唯一以这组常数构造),()()()(2211txctxctxctnn且有的解是则,)2.4()(t)1(00)1()1(00'00)(,,)(,)(nnxtxtxt由解的唯一性定理得:),()(txt即).()()()(2211txctxctxctxnn(2)推论.)2.4(n等于线性无关解的最大个数方程.维线性空间构成一个阶齐线性方程的所有解即nn(3)基本解组:.,)2.4(组称为方程的一个基本解个线性无关的解的一组方程n注:基本解组不是唯一的.三、非齐线性方程与常数变易法)1.4()()()(111tfxtadtxdtadtxdnnnnn)2.4(0)()(111xtadtxdtadtxdnnnnn非齐线性微分方程对应齐线性微分方程1非齐线性微分方程解的性质性质1.)1.4()()(,)2.4()(,)1.4()(的解也是方程则的解是方程而的解是方程如果txtxtxtx证明:因为0)()(111xtadtxdtadtxdnnnnn)()()(111tfxtadtxdtadtxdnnnnn所以,由微分性质两式相加得)())(()()()(111tfxxtadtxxdtadtxxdnnnnn.)1.4()()(的解也是方程故txtx性质2.)2.4()1.4(的解的任两解之差必为方程方程证明:,)1.4()(),(21的任两解是方程设txtx则)()()(111111tfxtadtxdtadtxdnnnnn)()()(212112tfxtadtxdtadtxdnnnnn故))(()()()(211211121xxtadtxxdtadtxxdnnnnn))()((111111xtadtxdtadtxdnnnnn))()((212112xtadtxdtadtxdnnnnn)(tf)(tf02非齐线性方程通解的结构定理7的通解可表为则方程的某一解是方程而的基本解组为方程设)1.4(,)1.4()(,)2.4()(,)(),(21txtxtxtxn)14.4(,)()()()()(2211txtxctxctxctxnn.)1.4