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复杂网络复杂网络上的传播动力学4.1引言¢复杂网络上的传播动力学问题是复杂网络研究的一个重要方向。¢主要研究社会和自然界中各种复杂网络的传播机理与动力学行为以及对这些行为高效可行的控制方法。¢复杂网络上的传播过程可以分为两类：不符合物质或¢复杂网络上的传播过程可以分为两类：不符合物质或能量守恒的过程以及符合物质或能量守恒的过程。¢本章首先介绍复杂网络上的流行病传播机理，接着介绍复杂网络的免疫策略，然后介绍复杂网络上的舆论传播和知识传播，最后介绍复杂网络上的数据包传递机理和拥塞控制。4.2复杂网络上的流行病传播¢4.2.1流行病传播的基本模型¢4.2.2均匀网中的流行病传播¢4.2.3非均匀网中的流行病传播¢4.2.4社团网上的流行病传播4.2.5¢4.2.5有限规模无标度网络和广义无标度网络的传播阈值¢4.2.6关联网络的传播阈值4.2复杂网络上的流行病传播¢流行病传播的速度很快，对社会的影响非常大，引起全社会的极大关注，如网络病毒、人类社会中的SARS、性病、艾滋病和谣言等等。¢在复杂网络上，最近的理论和实验都表明流行病的传播阈值与网络系统的尺寸(节点数)有着紧密联系。播阈值与网络系统的尺寸(节点数)有着紧密联系。¢在复杂网络传播动力学的研究中，传播阈值λc是理论和实验研究工作者特别关注的一个重要参量。对于尺寸非常大的网络系统而言，如果流行病的传播概率大于该传播阈值，那么受感染人数将占一个有限大小的比例，即传染病会爆发且持续地存在；否则，受感染人数会呈指数衰减，其占总人数的比例将接近于0，即传染病将会自然消失。4.2复杂网络上的流行病传播¢真实网络通常由有限的个体所组成，不符合系统尺寸无限大的这个极限。因此，理论和数值研究结论与实验结果将存在很大差异。¢网络的结构对传染病的传播也会产生很大的影响。¢在不同的网络模型上系统研究体系尺寸对传播阈值的¢在不同的网络模型上系统研究体系尺寸对传播阈值的影响，对于探讨真实复杂系统中传播特性具有指导意义。¢本节首先介绍流行病传播的几个基本模型，然后介绍不同结构性质的复杂网络上的传染病传播规律，接着介绍具有社团结构的网络对传染病传播的影响，最后简要介绍特殊无标度网络和关联网络的传播阈值。4.2.1流行病传播的基本模型¢需要采用不同的数学模型来表征不同的传播规律，它们是复杂网络传播动力学研究的基础。¢传播模型中的每一类个体都处于同一种状态。基本状态包括：易感状态(S)，即健康的状态，但有可能被感染；感染状态(I)，即染病的状态，具有传染性；感染；感染状态(I)，即染病的状态，具有传染性；移除状态(R)，即感染后被治愈并获得了免疫力或感染后死亡的状态。处于移除状态的个体不具有传染性，也不会再次被感染，即不再对相应动力学行为产生任何影响，可以看作已经从系统中移除。¢在真实系统中不同种类的传染病具有不同的传播方式，研究它们的传播行为通常采用不同的传播模型。4.2.1流行病传播的基本模型¢1.SI模型¢SI模型用来描述那些染病后不可能治愈的疾病，或对于突然爆发尚缺乏有效控制的流行病，如黑死病及非典型肺炎。()()()()SiIjIiIjl+¾¾®+¢设s(t)和i(t)分别标记群体中个体在t时刻处于S态和I态的密度，λ为传染概率，则SI模型的动力学模型可以用如下的微分方程组描述：()()()()SiIjIiIj+¾¾®+d()()()dd()()()dstitsttititsttllì=-ïïíï=ïî4.2.1流行病传播的基本模型¢2.SIS模型¢SIS传播模型适合描述像感冒、淋病这类治愈后患者不能获得免疫力的疾病；计算机病毒也属于这一类型。¢在SIS传播模型中，个体只存在两种状态：易感状态(S)和感染状态(I)。感染个体为传染的源头，它通过(S)和感染状态(I)。感染个体为传染的源头，它通过一定的概率α将传染病传给易感个体。同时，感染个体本身以一定的概率β得以治愈。另一方面，易感人群一旦被感染，就又成为新的感染源。SIS模型的感染机制可以描述如下：()()()()()()SiIjIiIjIiSiab+¾¾®+¾¾®4.2.1流行病传播的基本模型¢假设t时刻系统中处于易感状态、感染状态的个体的密度分别为s(t)和i(t)。当易感个体和感染个体充分混合时，SIS模型的动力学行为可以描述为如下的微分方程组d()()()()stitstitabì=-+¢令有效传染率λ＝α／β，该方程存在阈值λc，当λ＜λc时，稳态解i(T)＝0；而当λ＞λc时，稳态解i(T)＞0。其中，T代表达到稳态所经历的时间。d()()()()dd()()()()dstitstittititstittababì=-+ïïíï=-ïî4.2.1流行病传播的基本模型¢3.SIR模型¢SIR模型适合于两种情形：第一种情形是患者在治愈后可以获得终生免疫力，如腮腺炎、麻疹及天花等；第二种情形是患者几乎不可避免走向死亡，如艾滋病。¢在SIR模型中，感染个体不再变为易感个体而是以概β()SIR率β变为免疫个体(处于移除状态)。由此，SIR模型的感染机制可以描述如下：¢假设t时刻系统中处于易感状态、感染状态和移除状态的个体的密度分别为s(t)、i(t)和r(t)。当易感个体和感染个体充分混合时，SIR模型的动力学行为可以描述为如下的微分方程组：()()()()()()SiIjIiIjIiRiab+¾¾®+¾¾®4.2.1流行病传播的基本模型d()()()dd()()()()dd()()dstitsttititstittrtittaabbì=-ïïï=-íïï=ïî¢随着时间的推移，上述模型中的感染个体将逐渐增加。但是，经过充分长的时间后，因为易感个体的不足使得感染个体也开始减少，直至感染人数变为0，传染过程结束。¢因此，SIR模型在稳态时刻t＝T的传染密度r(T)和有效传染率λ存在着一一对应的关系，且r(T)可以用来测量传染的有效率。4.2.1流行病传播的基本模型¢同样，SIR模型也存在一个阈值λc，当λ＜λc时，感染无法扩散出去；而当λ＞λc时，传染爆发且是全局的，系统中所有个体都处于移除状态，而感染个体的数目为零。¢由此可见，SIR模型和SIS模型的主要区别在于：¢由此可见，SIR模型和SIS模型的主要区别在于：SIS的终态为稳定态(包括震荡态和不动点)，低于临界阈值时终态为0；SIR的终态为无感染态，低于临界阈值时总感染个体的密度为0。4.2.1流行病传播的基本模型¢4.SIRS模型¢SIRS模型适合描述免疫期有限或者说免疫能力有限的疾病。¢与SIR模型不同的是，在SIRS模型中，处于移除状态的个体(治愈后具有免疫力)还会以概率γ失去免疫力。力。¢当易感个体和感染个体充分混合时，SIRS模型的动力学行为可以描述为如下的微分方程组：()()()()()()()()SiIjIiIjIiRiRiSiabg+¾¾®+¾¾®¾¾®d()()()()dd()()()()dd()()()dststitsttititstittrtitsttgaabbgì=-ïïï=-íïï=-ïî4.2.1流行病传播的基本模型¢4.SEIR模型¢SEIR模型适合于描述具有潜伏态的疾病，如季节性的感冒。¢易感个体与感染个体接触后先以一定概率α变为潜伏态(E)，然后再以一定概率β变为感染态。SEIR模型的感染机制可以描述如下：的感染机制可以描述如下：¢假设t时刻系统中处于易感状态、潜伏状态、感染状态和移除状态的个体的密度分别为s(t)、e(t)、i(t)和r(t)。()()()()()()()()SiIjEiIjEiIiIiRiabg+¾¾®+¾¾®¾¾®4.2.1流行病传播的基本模型¢SIRS模型的动力学行为可描述为如下的微分方程组：d()()()dd()()()()dd()()()dstetsttetetstettitetittaabbgì=-ïïï=-ïíï=-ïdd()()dtrtittgïïï=î4.2.2均匀网络中的流行病传播¢按照度分布，复杂网络可以分为均匀网络和非均匀网网络。¢均匀网的度分布范围不大，在某一平均值附近且度分布指数衰减，如随机网络与小世界网络。¢对于均匀网络，其传播动力学通常可以由平均场或均¢对于均匀网络，其传播动力学通常可以由平均场或均匀混合方法给出。¢本小节介绍均匀网络中的流行病传播规律，分别基于SIS和SIR两种模型加以讨论。4.2.2均匀网络中的流行病传播¢1．基于SIS模型的情形¢均匀网络中每个节点的度近似等于网络的平均度，即k≈＜k＞。¢对于SIS模型来说，在每一个时间步，如果网络中易感个体至少和一个感染个体相连，则它被感染的概率为α；同时，感染个体被治愈变为易感个体的概率为β。同时，感染个体被治愈变为易感个体的概率为β。¢为了便于研究，这里对SIS模型作了两个假设：(1)均匀混合假设：有效传染率λ与系统中处于感染状态的个体的密度ρ(t)成正比，即α和β都是常数。(2)假设病毒的时间尺度远远小于个体的生命周期，从而不考虑个体的出生和自然死亡。令有效传染率(或叫有效传播率)λ＝α／β，它是一个非常重要的参量。4.2.2均匀网络中的流行病传播¢均匀网络中存在一个传播阈值λc。¢当有效传播率λ大于λc时，感染个体能够将病毒传播扩散，并使得整个网络中感染个体的总数最终稳定于某一平衡状态，网络此时处于激活相态(activephase)；¢当有效传播率λ小于λ时，感染个体的数量呈指数衰¢当有效传播率λ小于λc时，感染个体的数量呈指数衰减，无法大范围传播，网络此时处于吸收相态(absorbingphase)。¢所以在均匀网络中，存在一个正的传播阈值以将激活相态和吸收相态明确地分隔开。4.2.2均匀网络中的流行病传播¢不失一般性，令β＝1(这种做法只是改变演化时间的尺度)，利用平均场理论，均匀网络中被感染个体的密度随时间的演化满足如下方程：¢式中第一项表示感染个体以单位速率减少(因为假设d()()()[1()]dttktttrrlrr=-+-¢式中第一项表示感染个体以单位速率减少(因为假设概率β＝1)，第二项表示单个感染个体产生的新感染个体的平均密度，它与有效传播率、节点(个体)的平均度＜k＞及感染节点与易感节点连接的概率ρ(t)[1-ρ(t)]成正比。¢式中，ρ为感染个体的稳态密度。可以解得，均匀网络流行病传播的阈值为：[1(1)]0krlr-+-=1ckl=4.2.2均匀网络中的流行病传播¢而且满足¢由此可见，传播阈值与平均度成反比。这很好理解，因为接触的人越多，被感染的几率就越大，故降低平0cccrllllrlll=ìï-í=³ïî因为接触的人越多，被感染的几率就越大，故降低平均度是控制传染病传播的一个有效手段。¢【例4.1】用Matlab程序产生连接概率为p=0.1的含100个节点ER随机网络，绘制网络及其度分布，分析其均匀性，并计算其传播阈值。¢由图4.1(b)可见，ER随机网络的度分布在10附近，是一种均匀网络，计算得到其平均度为＜k＞≈pN＝10，所以根据式可知其传播阈值为：图4.1100个节点的ER随机网络及其度分布(a)ER随机网络；(b)度分布110.1ckpNl=»=1ckl=4.2.2均匀网络中的流行病传播¢2.基于SIR模型的情形¢对于SIR模型来说，处于易感状态、感染状态和移除状态的个体的密度s(t)、i(t)和r(t)满足如下约束条件：同样令λ＝α／β，β＝1(这种做法只是改变演化时间()()()1stitrt++=¢同样令λ＝α／β，β＝1(这种做法只是改变演化时间的尺度)，在与SIS模型相同的假设条件下，易感个体、感染个体和免疫个体(处于移除状态的个体)的密度满足：¢不同于SIS模型，这里传染效率是以最终感染人口r∞(t趋于无穷大时r(t)的值)来衡量的。d()()()dd()()()()dd()()dstkitsttitkitstittrtittllì=-ïïï=-íïï=ïî4.2.2均匀网络中的流行病传播¢当λ＜λc时，r∞在非常大的人口极限下为无穷小；而当λ＞λc