复杂网络基础5

第五章复杂网络的同步5.1前言同步是指性质全同或相近的两个或多个动力系统，通过系统间的相互作用，使得在不同的初始条件下各自演化的动力系统其状态逐步接近，最后达到全同的状态。早在三百多年前，物理学家惠更斯在给父亲的信里提到他卧病在床的几天中惊奇的发现，挂在同一个横梁上的两个钟摆在一段时间以后会出现同步的摆动现象。这种现象发生的原因是它们通过悬挂其上的横粱相互作用。除了这种两个个体相互作用产生的同步现象之外，很多重要的同步现象出现在多体系统中。本章重点讨论复杂网络的混沌同步原理。首先简要介绍混沌理论，然后概述混沌同步的概念和方法，接着引出一般意义上的复杂网络完全同步问题及其稳定性分析方法，最后讨论典型复杂动态网络在线性耗散耦合条件下的混沌同步问题。5.2混沌理论5.2.1混沌概念和混沌现象混沌是指在确定性系统中出现的一种貌似无规则、类似随机的现象，是非线性动力学系统所特有的一种运动形式，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性。1963年洛伦茨在其著名论文《确定性非周期流》中提出了一系列混沌运动的基本特征，如确定性非周期性、对初值的敏感依赖性、长期行为的不可预测性和洛伦茨吸引子（见后面的洛伦茨模型）.混沌的定义定义5.1：设f是从集合I到其自身的一个映射，对任意的x∈I，记f(0)（x）＝x，f(n)（x）＝f（f(n-1)（x）），称f(n)（x）为f（x）的n次迭代。若f是拓扑空间I上的连续自映射，称序列｛f(n)（x）：n∈N｝是由f迭代生成的离散拓扑半动力系统。若f是紧致度量空间I上的连续自映射，则称离散拓扑半动力系统f为紧致系统。在众多的混沌定义中，Li—Yorke的混沌定义是比较公认的和影响较大的。1975年，Li和Yorke从区间映射出发给出了混沌的一个数学定义，这也是第一次赋予混沌这个词以严格的科学定义。该定义如下：定义5.2：设I为R上的一个闭区间，对于连续自映射f：I→I，假设存在点x∈I，使得f(3)（x）≤x＜f（x）＜f(2)（x）或者f(3)（x）≥x＞f（x）＞f(2)（x）。如果：（1）f的周期点的周期无上界：f具有任意正整数周期的周期点，即对任意自然数n，有x∈I，使f(n)（x）＝x（非不动点的n周期点）。（2）闭区间I上存在不可数子集SI，满足：（i）对x，y∈S，当x≠y时有（ii）对x，y∈S有（iii）对x∈S和f的任一周期点y，有则称f在S上为混沌的。Li—Yorke定义用三个本质特征来刻划混沌：“有界”、“非周期”和“初始条件敏感”。定义中的（1）是Sarkovskii定理的特例，存在所有正整数周期，就足以说明系统是相当复杂的。满足（2）的不可数集S（不可数集是一种无穷集合，它和整数集之间不存在一个双射），称为混沌集，其中的条件（i）和（ii）是本质的，反映了轨道结构的复杂特征。条件（iii）说明了S中无渐进周期点，但这个结论不是独立的，实际上已经蕴涵在（i）和（ii）中1980年Auslander和Yorke以传递性为核心定义了一类重要的混沌，即Auslander—Yorke混沌如下：定义5.3：称动力系统（I，f）为Auslander—Yorke混沌，如果它满足：（1）f是拓扑传递的：对任何两个开集U，V∈I，存在自然数n，使得（2）f是初值敏感依赖的：存在δ＞0，对于任何x∈I与x的一个邻域B，存在y∈B和自然数n，使得距离1987年，美国数学家Devaney从拓扑学的角度给出了一个更全面的混沌定义如下：定义5.4：称动力系统（I，f）为是Devaney混沌的，如果：（1）映射f是拓扑传递的；（2）映射f是初值敏感依赖的；（3）映射f的周期在I中是稠密的。5.2.2混沌模型1．Logistic映射离散动力学系统可以用映射来描述，而Logistic映射就是一种简单的离散动力学系统，其定义如下：其中α是系统的参数，且0≤α≤4。Logistic映射也称虫口模型，原因是这个模型起初是用来描绘昆虫的数量随时间的变化：由于资源的有限性，昆虫的数量不可能无限制的增加，当到达一个数量后，它们之间就会因为食物的缺少而竞争。因此，这个模型描述的就是繁殖和竞争同时存在时昆虫的数量随时间的变化情况。对于这样一个简单的映射，我们所关心的是其最终状态是什么图5.1中给出了Logistic模型状态变量随参数α变化的分岔图，图中横坐标是参数α，取值范围为0～4，取样步长为3e-3；纵轴为序列{xn}的取值（每个α迭代500次，取后100次），范围为0～12．LORENZ模型Lorenz模型，它是由美国气象学家Lorenz在研究大气运动的时候，通过对对流模型简化，只保留三个变量提出的一个完全确定性的三阶自治常微分方程组。其方程形式为：其中三个参数分别为：σ为普朗特数，ρ是瑞利数，β是方向比。图5.2给出了Lorenz模型在σ＝10，ρ＝28，β＝8／3时系统的三维演化轨迹。由图可见，经过长时间运行后，系统只在三维空间的一个有限区域内运动，即在三维相空间里的测度为零，系统在此区域中的运动是混沌状态。3.ROSSLER模型Rossler给出了一个比Lorenz模型更简单的模型，表现在常微分方程组里只存在一个非线性项，其余都是线性项，它是一个人为构造出来的方程，没有明显的可以对应的物理意义，其具体形式为：其中ω，α，β，γ为系统的参数。我们称ω为自然频率，是表征系统在没有外界干扰时转动快慢的量。与Lorenz系统一样，合适的参数才能使系统产生混沌运动。取ω＝1.0，α＝0.165，β＝0.2，γ＝10，图5.4给出了系统混沌吸引子三维形状。人们普遍关心混沌是通过何种途径达到的，即所谓的通向混沌的道路。目前人们已经发现通向混沌的道路有以下几种：（1）倍周期分岔道路：随着系统参数的变化，系统中相继出现2，4，8…等倍周期，最终进入混沌状态。（2）阵发混沌道路：阵发是指一个信号随机地在长时间的规则运动与短时间的无规则运动的爆发之间的转换，这种通向混沌的机制是由Pomeau与Manneville于1979年提出来的。随着控制参数接近临界转变点，系统在规则运动过程中时不时间隙突然发出随机运动，且随机运动片断变得越来越频繁，最终进入混沌。（3）环面破裂：具有两个或两个以上不可约（即比值为非有理数）频率成份的拟周期运动在某种情况下失去光滑性，即参数达到临界值时布满拟周期轨道的环面发生破裂，而进入混沌。（4）危机道路：与阵发混沌道路一样，危机道路也是间隙的。但不同之处是：危机道路是由全局演化引起的，而阵发道路是由局部分岔导致的。5.2.3混沌系统的刻画指标混沌运动的描述方式有很多种。如何判断一个给定的系统是否处于混沌运动状态以及混沌的程度，是混沌研究的重要问题之一。最直接的方法是观察动力学系统的时间演化。为了对运动的定性有确切的结论，还需要有比较可靠的分析方法。其中，李雅普诺夫（Lyapunov）指数、测度熵、分数维、功率谱和彭加莱截面是几个最常用的手段。1.李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数（Lyapunovexponent）是混沌理论中一个重要概念，是目前用于判断非线性系统是否存在混沌行为的主要判据。李雅普诺夫指数可以给出吸引子相邻轨道平均指数发散率的定量度量，是对吸引子拉伸和收缩性质的长时间平均度量，可以定量表示轨道的稳定性和蝴蝶效应的强弱。m维系统的李雅普诺夫指数定义可以描述如下：定义5.5：设m维自治系统为：其中，各个时刻t的取值X（t）∈Rm构成了m维相空间，映射f：Rm→Rm。式的解从初始值X（0）出发在相空间形成轨道X（t）；若初始值X（0）有偏差W（0），则由X（0）＋W（0）出发在相空间形成另一个轨道X（t）＋W（t）。各个时刻t的取值W（t）∈Rm构成m维切空间。只要W（t）各分量足够小且系统是耗散系统，则W（t）应满足如下线性微分方程：其中，J是系统的Jacobi矩阵。在切空间上，初始时刻W（t）的长度为||W（0）||，t时刻的长度为||W（t）||，由于对初始条件的敏感性，使Jacobi矩阵的特征值给出了某确定时刻其长度在该特征方向上的指数变化率，因此设则m维系统的李雅普诺夫指数可以定义为由于在m维切空间中，W（t）在每个基底上都有分量，而李雅普诺夫指数是针对系统的运动轨道而言的，所以切空间的每一个分量都有一个李雅普诺夫指数（每个方向的收缩和扩张程度不一样，所以每个分量应该分开考虑），即按式（5.8）求出的m个李雅普诺夫指数，并将它们按大小顺序排列起来，即γ1≥γ2≥…≥γm。称由这些数组成的集合｛γ1，γ2，…，γm｝为李雅普诺夫指数谱，其中γ1称为最大李雅普诺夫指数。对于m维系统而言，有m个Lyapunov指数｛γ1，γ2，…，γm｝。在γi＜0的方向，相体积收缩，运动稳定且对初值不敏感；在γi＞0的方向相邻轨道迅速分离，长时间行为对初始条件敏感，运动呈混沌状态；γi＝0对应稳定边界，初始误差不放大也不缩小。因此Lyapunov指数谱的类型能提供动力学系统的定性分析。Lyapunov指数是对平衡点处特征值概念的推广，用来表示相空间中相邻轨道相互分离或汇聚的平均指数率。平衡点处的特征值是局部的、微观的，而Lyapunov指数是全局的、宏观的（整个系统的长期行为）。2.测度熵当轨道的初始值不能精确地获得时，随着轨道的演化，解的发散意味着信息的丢失。在混沌系统中，为了度量系统的混沌程度，Kolmogorov等人引进了测度熵的概念，又称K熵，它反映了信息损失的平均速率，其定义如下：定义5.7：设式（5.4）描述的动力学系统的相空间具有有限体积（测度），给定相空间的一个有限分割α，每隔单位时间取样，可得一符号动力系统，即：假定相空间有限分割为N（n）个子空间，分别用字长为n的符号0，1，…，N（n）－1描述。若k时刻状态点X(k)落在第j个符号区间，则定义符号S(k)＝j，j∈｛0，1，…，N（n）－1｝，则从0时刻出发的轨道可由符号向量序列｛S(k)｝完全描述。2.测度熵令Pi，i＝0，1，…，N（n）－1表示字长为n的符号i出现的概率，令则定义系统的测度熵为：测度熵K是运动性质的重要判据：K＝0对应于规则运动，K→∞对应于随机运动，0＜K＜∞对应于混沌运动。对于m维可微分的映射，可以证明测度熵上限就是Lyapunov指数谱中所有正Lyapunov指数之和。()101Nniip()10()logNniiiHnPP3.分形维分形维也是分析混沌系统的工具。为了定量表达奇怪吸引子的自相似分形结构特征，人们引入分形维的概念。第一种常用分形维叫做Hausdoff维数，定义如下：考虑由点集｛X1，X2，…，XN｝组成的m维空间中的一个奇怪吸引子。以边长为ε的m维小格子覆盖整个吸引子。设所需的格子数为M（ε），第k个格子中有Nk个点，令Pk＝Nk／N，定义Hausdoff维数如下Hausdoff维数有两个缺点：其一是当奇怪吸引子的维数较高时，计算量十分巨大；其二是没有反映几何对象的不均匀性，含有一个元素的格子和众多元素的格子在式中均具有相同权重。为了改进第二个缺点，引进了如下的信息维数定义：定义5.9：设则信息维数定义如下：不难看出，当各个格子具有相同的权重，即Pk＝1／N时，信息维数等于Hausdoff维数。同样，信息维数在空间维数较大时，也存在计算量大的问题。目前使用最广泛的是简便易算的关联维数，其定义如下：定义5.10：设关联积分其中sgn（）为符号函数，则关联维数定义如下：式中关联积分的含义是相空间中距离小于ε的相点对数占总点相对数的比例。5.3混沌同步理论5.3.1混沌同步的定义通俗的讲，同步是指两个或多个系统，在外部驱动或者相互耦合的作用下。调整它们的某个动态性质以达到具有相同性质的过程。所谓混沌同步，指的是对于从不同的初始条件出发的两个混沌系统，随着时间的推移，它们的轨迹逐渐一致。定义5.11：对于系统其中，X＝（x1，x2