核反应堆物理分析第七章

反应性随时间的变化反应性随时间的变化反应性随时间的变化本章主要问题包括：核燃料同位素成分的变化和燃耗；裂变产物同位素的生成与消耗；反应堆启动和停堆后135Xe和149Sm中毒随时间的变化；反应性随时间的变化；堆芯寿期、燃耗深度以及核燃料的转换与循环等问题。核燃料中重同位素成分随时间的变化7.1.1核燃料中重同位素的燃耗方程在反应堆的运行过程中，核燃料中的易裂变同位素(铀和钚)不断地燃耗根据粗赂的估计，一个电功率为1000MW的核电厂每天大约要消耗3kg左右的235U(或239Pu)；另一方面，可转换材料(如238U或232Th)俘获中子后又可以转换成易裂变同位索(如239Pu或233U)；同时，由于裂变将产生300多种裂变产物；因此，核燃料中各种重同位素的核密度将随反应堆运行时间不断地变化。这种变化与所采用的燃料循环的类型有关。核燃料中重同位素成分随时间的变化PuCmCmAmAmAmPuPuPuPuPuNpUPuNpUU238242%75244243242%25241244242241240239239238238237236235铀钚燃料循环中重同位素燃耗链核燃料中重同位素成分随时间的变化应该指出，上图中所列出的燃耗链是经过了简化的，只保留了工程计算中有重要意义的一些核素，略去了一些半衰期较短或者吸收截面较小的中间元素的作用。上图中从238U到240Pu的实际链如下图所示。Np：镎Am：镅Cm：锔核燃料中重同位素成分随时间的变化可以看出，这里我们忽略了239U，240U和240Np的作用。因为239U的吸收截面很小而半衰期又很短，所以绝大部分的239U都通过β-衰变成了239Np，而生成的240U是极少数的。同理，对其他的一些核素链也作了类似的简化，这样就简化成了7-1图中的链。核燃料中重同位素成分随时间的变化Pa：镤核燃料中重同位素成分随时间的变化对于裂变产物连，情况更为复杂。把由裂变反应直接产生的裂变碎片以及随后由这些碎片经过放射性衰变形成的各种同位素统称为裂变产物。它大约包括300多种放射性及稳定的同位素。因此，要分别计算它们的浓度变化及其对反应性的影响是非常复杂和耗时的工作。在工程中，计算时一般只需要选取其中吸收截面大或裂变产额较大的一些主要同位素，如135Xe，149Sm等(吸收截面都大于104b)，单独进行计算。核燃料中重同位素成分随时间的变化对于其他的裂变产物，按其截面的大小及浓度随时间变化特性归并成两组“假想的集总裂变产物”(FP)：一组是吸收截面相对大一点，其浓度随运行时间的增加而缓慢的趋于饱和的，称之为慢饱和裂变产物(SSFP)；另一组是截面很小的非饱和裂变产物(NSFP)。核燃料中重同位素成分随时间的变化对于这两组假想的裂变产物的产额及截面作如下处理：令其裂变产额γ=Σγi，而假想吸收截面则可根据经验数据或用该组裂变产物的吸收截面对其裂变产额进行加权平均而近似得到。例如，对于SSFP，。组的所有裂变产物求和是对并入截面和裂变产额。求和素的热中子吸收种慢饱和裂变产物同位分别是第和其中，SSFPiiiaiiiiaiSSFPa核燃料中重同位素成分随时间的变化7.1.2核燃料中重同位素的燃耗方程若要准确的计算堆运行过程中燃料内成分的变化，首先必须建立这些同位素的燃耗方程，在图7-1和7-3的燃耗链和裂变产物链中，除241Am链和Pm-Sm-Eu链外，其他大部分都是按单独裂变产物处理。241Am链或Pm-Sm-Eu链，计算时可以予以线性化处理以简化计算。如下图所示，同位素E的产生可转化成右边两个路径获得，计算时分别当作两个独立的链和核素处理，计算后再把结果相加。即EDBAECBAEDCBA转化为核燃料中重同位素成分随时间的变化经过线性化后，可以对7-1和7-3图中的每个核写出其浓度的燃耗方程。为此对图中的核素依序给与一个编号，如下表所示。编号12345678…核素235U236U237Np238Pu238U238Np239Pu240Pu…核燃料中重同位素成分随时间的变化这样，对其中每个核素，其燃耗方程如下:核素的产额。易裂变核裂变时对是是衰变常数，其中：或其中：iitrNtrFtrFtrNtrtrNdttrdNiiGgiigigfiiiGggigiiiiGggigaiiii,1,,,11,,111,,11,,,,,,,,表示由于同位素i-1的吸收中子或由于衰变而导致同位素i的产生率表示由于同位素吸收中子和衰变而引起的总消失率表示由于裂变反应引起的产生率核燃料中重同位素成分随时间的变化是一个非线性问题。而严格来讲，方程间分布，因成分的核子密度及其空度的分布又取决于燃料通量密有关，而且反过来中子与中子通量密度位素成分杂的是，不仅燃料的同算比较困难。同时更复方程，计是一个变系数的偏微分的函数，因此方程和时间间量密度和核密度都是空由于在反应堆内中子通27,,27trtrNtri核燃料中重同位素成分随时间的变化在实际计算中，通常采用一些近似方法来解决上述问题。首先，把堆芯划分成若干个子区，称为燃耗区。在每个燃耗区内，中子通量密度和核子密度随空间位置变化不大，可以认为等于常数，或可以用它们在该区的平均值近似代替。这样，在给定的燃耗区内中子通量密度和核子密度就不再是空间的函数；其次，把运行时间t也分成许多的时间间隔，每一时间间隔(tn-1,tn)称为燃耗时间步长。由于运行的反应堆内堆芯成分的变化并不很快，中子通量密度的空间分布形状随时间的变化很缓慢，所以时间步长可以取到长达几个星期或更长。在每个时间步长中，可以近似认为中子通量密度不遂时间变化而等于常数。这样，就在每个燃耗步长每消去了中子通量密度函数φ对自变量t的依赖关系。r核燃料中重同位素成分随时间的变化做了上述假设后，对于给定的燃耗区，在给定的燃耗步长内，燃耗方程便可以简化为常系数的常微分方程组1,111,,,,11,iiiGggigaiaiiaiiiiiiiIIIFNtNdttdN或其中：核燃料中重同位素成分随时间的变化同时，方程(7-2)是一组耦合方程组，为了解析求解的方便，可以进一步加以线性化。为此，令为燃耗步长。，来代替子数即用该步长内的平均核ttNNdttNtNiitttiinn1核燃料中重同位素成分随时间的变化经过这样的线性化后，方程(7-2)和(7-5)的产生Fi便等于常数。在燃耗步长Δt内，σi，βi和Fi都与时间无关。而且对于非裂变产物(图7-1)中的燃耗链核素Fi=0。核燃料中重同位素成分随时间的变化7.1.3燃耗方程的求解对于上述线性化近似下，方程(7-5)为一常系数的一阶微分方程，可以用解析方法或常规数值方法求解。核燃料中重同位素成分随时间的变化1．解析方法设在燃耗时间步长Δt=tn+1-tn内，令τ=t-tn，tn为该燃耗步长的起始时间。对常微分方程组，自i=1方程可以直接写出其解的形式为C11是由初始条件确定的常数。1111111;1FDDeCN核燃料中重同位素成分随时间的变化对于i=2的方程，N2(τ)的解由方程的齐次部分的通解和特解两部分组成，C21，C22和D2为待定常数。22122211DeCeCN核燃料中重同位素成分随时间的变化这样一直顺推下去，可以写出(7-5)的通解，其形式如下：为确定系数Cij，可将通解带入方程(7-5)，得到iijijiDeCNj1iiijijiiijjiiijjijFDeCDeCeCjjj1111,111核燃料中重同位素成分随时间的变化这样，根据方程两端对应阶次项的系数相等的原则，可得FDDijCCFDDCCCjiiiijijiiijijiiiiijijiijij,11,11,11,111;,0;因而：核燃料中重同位素成分随时间的变化对于i=j，(7-11)为恒等式，因此Cii必须用初始条件来确定。令t=tn(即τ=0)时刻同位素i的和密度为Ni(0)，从(7-10)得iijijiiiiijijiDCNCFNCDCN111111110;00因而：核燃料中重同位素成分随时间的变化这样就给出了线性化后燃耗方程(7-5)在0τΔt区间的解析解(7-10)，其中系数Cij和Di由(7-13)，(7-14)和(7-16)式决定，(7-10)为普遍解，对重核素及裂变产物都适用，不过对于重核素，裂变产物项Fi=0。核燃料中重同位素成分随时间的变化还可用拉式变换方法对方程(7-5)求解，经推倒后也可给出与(7-10)等同的解析解，其表达式为ikllikllikijikljlikllijkikikjjjijkikkikjjijkkiiCCFCNN11expexp01，其中：核燃料中重同位素成分随时间的变化同样(7-17)也是普遍解，不过对于非裂变产物的重核素，右边第二项中Fk=0，利用(7-17)式对燃耗步长积分便可得到(7-9)式中的平均核子数ikikjjjijkkitiitCNtdNtN10exp11011核燃料中重同位素成分随时间的变化2．数值方法方程(7-5)也可以用数值方法求解，用向量形式表示为函数向量。为燃耗方程右端量，为所有核素的核密度向其中，tNfNtNfdtNd,,核燃料中重同位素成分随时间的变化量。个小步长末的核密度向表示第，步长序号，再细分的小中用更小的步长是燃耗步长其中，格式如下从计算方法给出其差分jNtttttttjfftNNjjjnnjjjj11112核燃料中重同位素成分随时间的变化核密度。到得到该燃耗步长末的去，直按上面格式迭代求解下是迭代序号。燃耗方程其中，迭代格式如下用迭代法求解，为隐式差分格式，必须lfftNNfftNNljjjljjjjj1111221核燃料中重同位素成分随时间的变化这样，用解析法或数值方法求得在本燃耗时间步长末核燃料中各种重同位素的核子密度，然后把求出的这些数值作为下一个燃耗时间步长的初始值，并对下一个燃耗时间步长重复进行计算。把这些步骤重复下去，便可得到核燃料中各种重同位素核密度随反应堆运行时间的变化。应该注意到，燃料同位素核密度的变化，会引起反应堆中子通量密度和功率密度分布的变化，所以，在实际的反应堆燃耗计算中，在每个燃耗步长之后，应根据新求得的易裂变同位素的核密度对中子通量密度的数值进行修正，必要时要重新求解多群扩散方程，进行临界计算，以求出堆内新的中子通量密度或功率分布。核燃料中重同位素成分随时间的变化图7-5给出低富集铀反应堆的燃料中除238U以外各主要重同位素的核密度随中子注量或燃耗深度(表示为GW·d/t)的变化。从图中可以看出235U核密度随燃耗不断的减少，而同时新的易裂变同位素239Pu随运行时间在初始阶段迅速积累，但由于239Pu具有很大的热中子吸收截面，因而其核密度很快便达到饱和而趋于一个常数；钚的其他同位素是由239Pu逐级俘获中子而形成的，所以它们的产生率要慢的多。由于239Pu是易裂变同位素，这一转换过程扩大了对核燃料的利用，这样从反应堆卸出的乏燃料中，除了少量的235U外，还有一部分239Pu，将这一部分235