1.连接体加速度能同时为零吗

1连接体加速度能同时为零吗2009年暑假，在百度物理吧“=618523530”看到这样一个求解贴子：如图所示，一轻绳通过无摩擦的定滑轮与放在倾角为30°的光滑斜面上的物体M1连接，另一端和套在光滑竖直杆上的物体M2连接，图中定滑轮到竖直杆的水平距离为30d米，又知物体M2由图中位置从静止开始下滑1米时，M1和M2受力恰好平衡。求M2下滑过程中的最大速度。这是被中学物理教师常常引来精讲的习题，它能考查速度的分解、机械能守恒。2005年6月，广东省新兴县华侨中学的佘季华老师在中学物理教学参考杂志（2005.6：36-37）上发表文章——“一组循序变化的系统机械能守恒题解析”，就引用了这个题来进行一题多变，可见，这类问题在中学物理刊物和习题中颇为流行。提供的解答都是这样的：设物体M1、M2质量分别为m1和m2，并考虑到30d米，物体M2由图中位置从静止开始下滑1米时，M1和M2受力恰好平衡。gmgm2160cos30sin，则214mm，然后再根据机械能守恒求M2最大速度2v。211222012212130sin)(vmvmdrgmgym其中：12cosvv，可以求出答案smv/15.22。我要提出的问题是：M1和M2受力恰好平衡能同时达到吗？分析表明，这个题就是一个错题。根本不能求解。如图，根据几何关系：2202rdy两边对时间求导数有：rryy，并注意到：ryvrvycos,,12上式可化为：12cosvv，对rryy式两边再对时间求导数：rrryyy22如果要同时满足M1和M2受力平衡，则0;0ry，上式马上可变为：ry，即：12vv这是不可能的2（与12cosvv相悖）。与此相类似的问题还有：如图所示，质量不计的长绳，沿水平方向跨放在相距2L的两个小滑轮A和B上，绳的两端各挂一质量为ｍ的物体，若将质量也为ｍ的物体Q挂在AB的中点C处，并由静止释放，不计摩擦和滑轮质量，求：Q下落过程中速度最大时离释放点的距离h。这类题也比较常见，但被很多老师批判过。如1999年2月，湖南永兴一中的的曾建湘老师，在物理教师杂志就撰写了“一个应该纠正的问题”，就是经此题进行讨论研究的。还有在中学物理教学参考杂志等上都有出现这类问题的批评。提供的解答是：物体Q挂在Ｃ点之后，Q向下运动，通过绳子带动两物块P向上运动，三个物体均是做先加速后减速的运动，当Q速度达到最大时，加速度为零，此时结点C所受合力为零，根据平衡知识可知，C点受三根绳子的拉力必互成120角，如图所示．设Q下落的距离为h，由几何关系可得：LLh3330tan这道题本身没错，但解答是错误的。问题同样是：Q加速度为零时（Q速度达到最大），P物体的加速度也刚好没零吗？如果不为零，那么绳子拉力就不会等于mg。下面进行证明：如图，在任意位置，根据几何关系：222rhL分别对变量对时间求一阶（速度）和二阶（加速度）导数：rrhh，rrrhhh22考虑到rhcos，则有：pQvvcos同理，上式发现当0h时，0r。即两边绳子拉力mgT有些资料对此题笼统地问“在平衡位置时，Q物体的速度？”当然，平衡位置如果是Q的，则上面解法不成立，并且PQ三物体的平衡位置出现的时间不一致。那么我们理解平衡位置是系统的。如果定义系统的平衡位置为系统总动能最大，即系统重力势能最小。系统重力势能最小，也就是说系统重心降到最低的时候，在物理学中，可视为最稳定。那么系统的重力势能为：3)sin(2cotLLmgmgLE对E求导，则当0sin)cos21(2mgLE时，系统重力势能达到最小，此时，60。勉强符合上面题意的要求，但这种求解方法估计不是出题者的初衷。题没错，肯定就有正确解答，下面提供正确的解答，但这个解法，一般的中学生是看都看不懂的。由机械能守恒，2221221)sin(2cotPQmvmvLLmgmgL，其中：pQvvcos解得：2cossin2sin)sin22(cos2gLvQ难就难在这个函数求最大值。如果用求导的方法去求最值，求出来一大堆，连我自己都不想看下去了。下面通过excel数据处理进行大致估算。根据数据绘成如下图象：从图表中可以看出，当角度68附近，速度达到最大，而不是所说的，60速度达到最大。当角度37左右时，Q物体的速度为零，即物体Q下降到最低点，这个结论可用机械能守恒求出。绳与竖直方向夹角（度）80757264.260504542.84037.536.8Q物体的速度（smgL/2）0.3700.4160.4290.4290.4120.3310.2660.2300.1680.0760.001不同角度下Q物体的速度00.050.10.150.20.250.30.350.40.450.530405060708090角度速度速度4那么，对于连接体问题，加速度能不能同时达到为零呢？由于加速度是速度对时间求导，所以当连接体速度关系有12kvv时，其中k为一与时间无关的常数。即，连接体速度关系为线性时，我们才能说当二者达到平衡时。如果连接体速度通过分解，两个速度之间有三角函数据关系、二次关系等待非线性关系时，我们就不能说，两个物体加速度同时为零。如下图的几种情况，二者加速度同时为零是可以的。